海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)
數(shù)學(xué)（理科） 2009.05
一、選擇題：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).
（1）已知集合
，集合
，則
等于
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）某行業(yè)主管部門所屬的企業(yè)有800家，按企業(yè)固定資產(chǎn)規(guī)模分為大型企業(yè)?中型企業(yè)?小型企業(yè). 大?中?小型企業(yè)分別有80家，320家和400家，該行業(yè)主管部門要對(duì)所屬企業(yè)的第一季度生產(chǎn)狀況進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，共抽查100家企業(yè). 其中大型企業(yè)中應(yīng)抽查 （ ）
（A）
家
（B）
家
（C）
家 （D）
家
（3）若
，則 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）在
中，
所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為
，如果
，那么一定是（ ）
（A）銳角三角形 （B）鈍角三角形 （C）直角三角形 （D）等腰三角形
（5）若直線
與直線
關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱，則直線恒過定點(diǎn)
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰.那么不同的發(fā)言順序種數(shù)為 （ ）
（A）360 （B）520 （C）600 （D）720
（7）在棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐
中，點(diǎn)
為
的中點(diǎn)，則下列命題正確的是
（ ）
（A）
∥平面
，且到平面的距離為
（B）∥平面，且到平面的距離為
（C）與平面不平行，且與平面所成的角大于
（D）與平面不平行，且與平面所成的角小于
（8）已知點(diǎn)
是矩形
所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.把答案填在題中橫線上.
（9）已知等比數(shù)列
中，
，
，那么
的值為
.
（10）已知函數(shù)
是連續(xù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)
的值是
.
（11）已知
，則
的值等于______ _ .
（12）已知函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
的部分圖象如圖所示，且導(dǎo)函數(shù)
有最小值
，則
，
.
（13）以雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且與該雙曲線的一條準(zhǔn)線相切，則該雙曲線的離心率為 .
（14）下圖展示了一個(gè)由區(qū)間(0,1)到實(shí)數(shù)集R的映射過程：區(qū)間
中的實(shí)數(shù)m對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)M，如圖1；將線段
圍成一個(gè)圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合，如圖2；再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其圓心在y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，如圖3.圖3中直線
與x軸交于點(diǎn)
，則m的象就是n，記作
.
（?）方程
的解是
；
（?）下列說法中正確命題的序號(hào)是 .（填出所有正確命題的序號(hào)）
①
； ②
是奇函數(shù)； ③在定義域上單調(diào)遞增； ④的圖象關(guān)于點(diǎn)
對(duì)稱．
（15）（本小題共13分）
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
已知數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，
, 
（
，
）.
且
，
，
成等差數(shù)列.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（16）（本小題共13分）
檢測(cè)部門決定對(duì)某市學(xué)校教室的空氣質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)，空氣質(zhì)量分為A、B、C三級(jí). 每間教室的檢測(cè)方式如下：分別在同一天的上、下午各進(jìn)行一次檢測(cè)，若兩次檢測(cè)中有C級(jí)或兩次都是B級(jí)，則該教室的空氣質(zhì)量不合格.
設(shè)各教室的空氣質(zhì)量相互獨(dú)立，且每次檢測(cè)的結(jié)果也相互獨(dú)立. 根據(jù)多次抽檢結(jié)果，一間教室一次檢測(cè)空氣質(zhì)量為A、B、C三級(jí)的頻率依次為
.
（Ⅰ）在該市的教室中任取一間，估計(jì)該間教室的空氣質(zhì)量合格的概率；
（Ⅱ）如果對(duì)該市某中學(xué)的4間教室進(jìn)行檢測(cè)，記在上午檢測(cè)空氣質(zhì)量為A級(jí)的教室間數(shù)為
，并以空氣質(zhì)量為A級(jí)的頻率作為空氣質(zhì)量為A級(jí)的概率，求的分布列及期望.
（17）（本小題共14分）
如圖，斜三棱柱
的底面是直角三角形，
，點(diǎn)
在底面
上的射影恰好是
的中點(diǎn)，且
．
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求證：
；
（Ⅲ）求二面角
的大小.
（18）（本小題共13分）
已知：函數(shù)
（其中常數(shù)
）.
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域及單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)
，使得不等式
成立，求a的取值范圍．
（19）（本小題共13分）
已知拋物線C:
，過定點(diǎn)
，作直線
交拋物線于
（點(diǎn)
在第一象限）.
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)A是拋物線C的焦點(diǎn)，且弦長(zhǎng)
時(shí)，求直線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)
關(guān)于
軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線
交軸于點(diǎn)
，且
.求證：點(diǎn)B的坐標(biāo)是
并求點(diǎn)到直線的距離
的取值范圍.
（20）（本小題共14分）
已知
定義域?yàn)?sub>
，滿足：
①
；
②對(duì)任意實(shí)數(shù)
，有
.
（Ⅰ）求
，
的值；
（Ⅱ）求
的值；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)
，使得不等式
對(duì)一切實(shí)數(shù)成立.如果存在，求出常數(shù)的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)
數(shù)學(xué)（理科）
一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）
ACDDB CDC
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）
（9）62 （10）2
（11）
（12）2，
（13）
（14）
，③④
三、解答題（本大題共6小題,共80分）
(15)（本小題共13分）
解：（Ⅰ）∵
（
），
∴
（）. ………………………………………1分
∵
，
，
成等差數(shù)列，
∴
.
………………………………………3分
∴
.
………………………………………5分
∴
.
………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
（）.
∴數(shù)列
為首項(xiàng)是
，公差為1的等差數(shù)列.
………………………………………8分
∴
.
∴
.
………………………………………10分
當(dāng)
時(shí)，
. ………………………………………12分
當(dāng)
時(shí)，上式也成立. ………………………………………13分
∴
（）.
（16）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）該間教室兩次檢測(cè)中，空氣質(zhì)量均為A級(jí)的概率為
.………………………………2分
該間教室兩次檢測(cè)中，空氣質(zhì)量一次為A級(jí)，另一次為B級(jí)的概率為
.
…………………………………4分
設(shè)“該間教室的空氣質(zhì)量合格”為事件E.則 …………………………………5分
.
…………………………………6分
答：估計(jì)該間教室的空氣質(zhì)量合格的概率為
.
（Ⅱ）由題意可知，
的取值為0，1，2，3，4.
…………………………………7分
.
隨機(jī)變量的分布列為：
0
1
2
3
4
…………………………………12分
解法一：
∴
. …………………………………13分
解法二：
，
∴
.
…………………………………13分
（17）（本小題共14分）
（Ⅰ）證明：設(shè)
的中點(diǎn)為
.
在斜三棱柱
中，點(diǎn)
在底面
上的射影恰好是的中點(diǎn),
平面ABC. ……………………1分
平面，
.
……………………2分
，
∴
.
，
∴
平面
. ……………………4分
平面
，
平面
平面.
………………………………………5分
解法一：（Ⅱ）連接
，平面，
是直線
在平面上的射影.
………………………………………5分
，
四邊形是菱形.
.
………………………………………7分
.
………………………………………9分
（Ⅲ）過點(diǎn)
作
交于點(diǎn)
，連接
.
，
平面
.
.
是二面角
的平面角.
………………………………………11分
設(shè)
，則
，
.
.
.
.
平面
，
平面，
.
.
在
中，可求
.
∵
，∴
.
∴
.
.
………………………………………13分
.
∴二面角的大小為
.
………………………………………14分
解法二：（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在底面上的射影是的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為
，則
平面ABC.以為原點(diǎn)，過平行于
的直線為
軸，所在直線為
軸，
所在直線為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)
，由題意可知，
.
設(shè)
，由
，得
………………………………………7分
.
又
.
.
.
………………………………………9分
（Ⅲ）設(shè)平面
的法向量為
.
則
∴
.
設(shè)平面
的法向量為
.則
∴
.
………………………………………12分
.
………………………………………13分
二面角的大小為.
………………………………………14分
（18）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）函數(shù)
的定義域?yàn)?sub>
．
………………………………………1分
. ………………………………………3分
由
，解得
.
由
，解得
且
．
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為
，單調(diào)遞減區(qū)間為
，
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由題意可知，
，且
在
上的最小值小于等于時(shí)，存在實(shí)數(shù)
，使得不等式
成立．
………………………………………7分
若
即
時(shí)，
x
a+1
-
0
+
ㄋ
極小值
ㄊ
∴在上的最小值為
．
則
，得
．
………………………………………10分
若
即
時(shí)，在上單調(diào)遞減，則在上的最小值為
．
由
得
（舍）．
………………………………………12分
綜上所述，．
………………………………………13分
（19）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）由拋物線C:
得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
，設(shè)直線
的方程為：
，
. ………………………………………1分
由
得
.
所以
，
.因?yàn)?sub>
， …………………………………3分
所以
.
所以
.即
.
所以直線的方程為：
或
.
………………………………………5分
（Ⅱ）設(shè)
，
，則
.
由
得
.
因?yàn)?sub>
，所以
，
. ……………………………………7分
（?）設(shè)
，則
.
由題意知：
∥
，
.
即
.
顯然
………………………………………9分
（?）由題意知：
為等腰直角三角形，
，即
，即
.
. 
.
.，
.
………………………………………11分
.
即
的取值范圍是
.
………………………………………13分
（20）（本小題共14分）
解：（Ⅰ）取
，得
，即
.
因?yàn)?sub>
，所以
.
………………………………………1分
取
，得
.因?yàn)?sub>
，所以
.
取
，得
，所以
.
………………………………………3分
（Ⅱ）在
中取
得
.
所以
.
在中取
，得
.
在中取
，
得
.
所以
.
在中取
，
得
.
所以
.
在中取
，
得
.
所以
對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立.
所以
.
………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
在
中，
取
，得
，即
①
取
，得
②
取
，得
，即
③
②+①得
，②+③得
.
.
將代入①得
.
將代入②得
.
.
由（Ⅱ）知，所以
對(duì)一切實(shí)數(shù)成立.
故當(dāng)
時(shí)，對(duì)一切實(shí)數(shù)成立.
存在常數(shù)，使得不等式
對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，且為滿足題設(shè)的唯一一組值.
………………………………………14分
說明：其它正確解法按相應(yīng)步驟給分.
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