題目列表(包括答案和解析)
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（09年海淀區(qū)二模理）（13分）
檢測(cè)部門(mén)決定對(duì)某市學(xué)校教室的空氣質(zhì)量進(jìn)行檢測(cè)，空氣質(zhì)量分為A、B、C三級(jí). 每間教室的檢測(cè)方式如下：分別在同一天的上、下午各進(jìn)行一次檢測(cè)，若兩次檢測(cè)中有C級(jí)或兩次都是B級(jí)，則該教室的空氣質(zhì)量不合格. 設(shè)各教室的空氣質(zhì)量相互獨(dú)立，且每次檢測(cè)的結(jié)果也相互獨(dú)立. 根據(jù)多次抽檢結(jié)果，一間教室一次檢測(cè)空氣質(zhì)量為A、B、C三級(jí)的頻率依次為
.
（Ⅰ）在該市的教室中任取一間，估計(jì)該間教室的空氣質(zhì)量合格的概率；
（Ⅱ）如果對(duì)該市某中學(xué)的4間教室進(jìn)行檢測(cè)，記在上午檢測(cè)空氣質(zhì)量為A級(jí)的教室間數(shù)為
，并以空氣質(zhì)量為A級(jí)的頻率作為空氣質(zhì)量為A級(jí)的概率，求的分布列及期望一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）
ACDDB CDC
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）
（9）62 （10）2
（11）
（12）2，
（13）
（14）
，③④
三、解答題（本大題共6小題,共80分）
(15)（本小題共13分）
解：（Ⅰ）∵
（
），
∴
（）. ………………………………………1分
∵
，
，
成等差數(shù)列，
∴
.
………………………………………3分
∴
.
………………………………………5分
∴
.
………………………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
（）.
∴數(shù)列
為首項(xiàng)是
，公差為1的等差數(shù)列.
………………………………………8分
∴
.
∴
.
………………………………………10分
當(dāng)
時(shí)，
. ………………………………………12分
當(dāng)
時(shí)，上式也成立. ………………………………………13分
∴
（）.
（16）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）該間教室兩次檢測(cè)中，空氣質(zhì)量均為A級(jí)的概率為
.………………………………2分
該間教室兩次檢測(cè)中，空氣質(zhì)量一次為A級(jí)，另一次為B級(jí)的概率為
.
…………………………………4分
設(shè)“該間教室的空氣質(zhì)量合格”為事件E.則 …………………………………5分
.
…………………………………6分
答：估計(jì)該間教室的空氣質(zhì)量合格的概率為
.
（Ⅱ）由題意可知，
的取值為0，1，2，3，4.
…………………………………7分
.
隨機(jī)變量的分布列為：
0
1
2
3
4
…………………………………12分
解法一：
∴
. …………………………………13分
解法二：
，
∴
.
…………………………………13分
（17）（本小題共14分）
（Ⅰ）證明：設(shè)
的中點(diǎn)為
.
在斜三棱柱
中，點(diǎn)
在底面
上的射影恰好是的中點(diǎn),
平面ABC. ……………………1分
平面，
.
……………………2分
，
∴
.
，
∴
平面
. ……………………4分
平面
，
平面
平面.
………………………………………5分
解法一：（Ⅱ）連接
，平面，
是直線(xiàn)
在平面上的射影.
………………………………………5分
，
四邊形是菱形.
.
………………………………………7分
.
………………………………………9分
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)
作
交于點(diǎn)
，連接
.
，
平面
.
.
是二面角
的平面角.
………………………………………11分
設(shè)
，則
，
.
.
.
.
平面
，
平面，
.
.
在
中，可求
.
∵
，∴
.
∴
.
.
………………………………………13分
.
∴二面角的大小為
.
………………………………………14分
解法二：（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在底面上的射影是的中點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為
，則
平面ABC.以為原點(diǎn)，過(guò)平行于
的直線(xiàn)為
軸，所在直線(xiàn)為
軸，
所在直線(xiàn)為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)
，由題意可知，
.
設(shè)
，由
，得
………………………………………7分
.
又
.
.
.
………………………………………9分
（Ⅲ）設(shè)平面
的法向量為
.
則
∴
.
設(shè)平面
的法向量為
.則
∴
.
………………………………………12分
.
………………………………………13分
二面角的大小為.
………………………………………14分
（18）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）函數(shù)
的定義域?yàn)?sub>
．
………………………………………1分
. ………………………………………3分
由
，解得
.
由
，解得
且
．
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為
，單調(diào)遞減區(qū)間為
，
．
………………………………………6分
（Ⅱ）由題意可知，
，且
在
上的最小值小于等于時(shí)，存在實(shí)數(shù)
，使得不等式
成立．
………………………………………7分
若
即
時(shí)，
x
a+1
-
0
+
ㄋ
極小值
ㄊ
∴在上的最小值為
．
則
，得
．
………………………………………10分
若
即
時(shí)，在上單調(diào)遞減，則在上的最小值為
．
由
得
（舍）．
………………………………………12分
綜上所述，．
………………………………………13分
（19）（本小題共13分）
解：（Ⅰ）由拋物線(xiàn)C:
得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
，設(shè)直線(xiàn)
的方程為：
，
. ………………………………………1分
由
得
.
所以
，
.因?yàn)?sub>
， …………………………………3分
所以
.
所以
.即
.
所以直線(xiàn)的方程為：
或
.
………………………………………5分
（Ⅱ）設(shè)
，
，則
.
由
得
.
因?yàn)?sub>
，所以
，
. ……………………………………7分
（?）設(shè)
，則
.
由題意知：
∥
，
.
即
.
顯然
………………………………………9分
（?）由題意知：
為等腰直角三角形，
，即
，即
.
. 
.
.，
.
………………………………………11分
.
即
的取值范圍是
.
………………………………………13分
（20）（本小題共14分）
解：（Ⅰ）取
，得
，即
.
因?yàn)?sub>
，所以
.
………………………………………1分
取
，得
.因?yàn)?sub>
，所以
.
取
，得
，所以
.
………………………………………3分
（Ⅱ）在
中取
得
.
所以
.
在中取
，得
.
在中取
，
得
.
所以
.
在中取
，
得
.
所以
.
在中取
，
得
.
所以
對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立.
所以
.
………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
在
中，
取
，得
，即
①
取
，得
②
取
，得
，即
③
②+①得
，②+③得
.
.
將代入①得
.
將代入②得
.
.
由（Ⅱ）知，所以
對(duì)一切實(shí)數(shù)成立.
故當(dāng)
時(shí)，對(duì)一切實(shí)數(shù)成立.
存在常數(shù)，使得不等式
對(duì)一切實(shí)數(shù)成立，且為滿(mǎn)足題設(shè)的唯一一組值.
………………………………………14分
說(shuō)明：其它正確解法按相應(yīng)步驟給分.
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