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已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線為l，焦點為F．⊙M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過原點O作傾斜角為

π

3

的直線n，交l于點A，交⊙M于另一點B，且AO=OB=2．
（Ⅰ）求⊙M和拋物線C的方程；
（Ⅱ）若P為拋物線C上的動點，求

PM

•

PF

的最小值；
（Ⅲ）過l上的動點Q向⊙M作切線，切點為S，T，求證：直線ST恒過一個定點，并求該定點的坐標．

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已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點A（a，4）到其準線的距離為

17

4

．
（Ⅰ）求p與a的值；
（Ⅱ）設拋物線C上動點P的橫坐標為t（0＜t＜2），過點P的直線交C于另一點Q，交x軸于M點（直線PQ的斜率記作k）．過點Q作PQ的垂線交C于另一點N．若MN恰好是C的切線，問k²+tk-2t²是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

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一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）

ACDDB CDC

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分.有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，共30分）

（9）62        （10）2        （11）         （12）2，

（13）    （14），③④

三、解答題（本大題共6小題,共80分）

(15)（本小題共13分）

解：（Ⅰ）∵（），

∴（）.                ………………………………………1分

∵，，成等差數列，

∴.                                  ………………………………………3分

∴.                                     ………………………………………5分

∴.                                             ………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

（）.

∴數列為首項是，公差為1的等差數列.         ………………………………………8分

∴.

∴.                                         ………………………………………10分

當時，.      ………………………………………12分

當時，上式也成立.                             ………………………………………13分

∴（）.

（16）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）該間教室兩次檢測中，空氣質量均為A級的概率為.………………………………2分

該間教室兩次檢測中，空氣質量一次為A級，另一次為B級的概率為.

                                                          …………………………………4分

設“該間教室的空氣質量合格”為事件E.則                    …………………………………5分

.                              …………………………………6分

答：估計該間教室的空氣質量合格的概率為.

（Ⅱ）由題意可知，的取值為0，1，2，3，4.                …………………………………7分

.

隨機變量的分布列為：

0

1

2

3

4

                                                        …………………………………12分

解法一：

∴.    …………………………………13分

解法二：，

∴.                                       …………………………………13分

（17）（本小題共14分）

（Ⅰ）證明：設的中點為.

在斜三棱柱中，點在底面上的射影恰好是的中點,

     平面ABC.         ……………………1分

平面，

.               ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.       ……………………4分

平面，

    平面平面.                          ………………………………………5分

解法一：（Ⅱ）連接，平面，

是直線在平面上的射影.          ………………………………………5分

，

四邊形是菱形.

.                                   ………………………………………7分

.                                   ………………………………………9分

（Ⅲ）過點作交于點，連接.

，

平面.

.

是二面角的平面角.               ………………………………………11分

設，則，

.

.

.

.

平面，平面，

.

.

在中，可求.

∵，∴.

∴.

.                   ………………………………………13分

.

∴二面角的大小為.             ………………………………………14分

解法二：（Ⅱ）因為點在底面上的射影是的中點，設的中點為，則平面ABC.以為原點，過平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，由題意可知，.

設，由，得

………………………………………7分

.

  又.

.

.                                              ………………………………………9分

（Ⅲ）設平面的法向量為.

則

∴

.

設平面的法向量為.則

∴

.                                   ………………………………………12分

.                        ………………………………………13分

二面角的大小為.           ………………………………………14分

（18）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）函數的定義域為．                 ………………………………………1分

.             ………………………………………3分

由，解得.

由，解得且．

∴的單調遞增區間為，單調遞減區間為，．

………………………………………6分

（Ⅱ）由題意可知，，且在上的最小值小于等于時，存在實數，使得不等式成立．                             ………………………………………7分

若即時，

x

a+1

-

0

+

ㄋ

極小值

ㄊ

∴在上的最小值為．

則，得．                           ………………………………………10分

若即時，在上單調遞減，則在上的最小值為．

由得（舍）．                            ………………………………………12分

綜上所述，．                               ………………………………………13分

（19）（本小題共13分）

解：（Ⅰ）由拋物線C:得拋物線的焦點坐標為，設直線的方程為：，.                                       ………………………………………1分

由得.

所以，.因為， …………………………………3分

所以.

所以.即.

所以直線的方程為：或.           ………………………………………5分

（Ⅱ）設，，則.

由得.

因為，所以，. ……………………………………7分

   （?）設，則.

  由題意知：∥，.

即.

  顯然      ………………………………………9分

（?）由題意知：為等腰直角三角形，，即，即.

. .

.，.                      ………………………………………11分

  .

即的取值范圍是.                           ………………………………………13分

（20）（本小題共14分）

解：（Ⅰ）取，得，即.

因為，所以.                         ………………………………………1分

取，得.因為，所以.

取，得，所以.

                                                    ………………………………………3分

（Ⅱ）在中取得.

所以.

在中取，得.

在中取，

得.

所以.

在中取，

得.

所以.

在中取，

得

         .

所以對任意實數均成立.

所以.                        ………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

在中，

取，得，即  ①

取，得 ②

取，得，即 ③

②+①得，②+③得.

.

將代入①得.

將代入②得.

.

由（Ⅱ）知，所以對一切實數成立.

故當時，對一切實數成立.

存在常數，使得不等式對一切實數成立，且為滿足題設的唯一一組值.                   ………………………………………14分

說明：其它正確解法按相應步驟給分.