Question

已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點F（1，0）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）命題：“過拋物線C的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值是2”．判斷它是真命題還是假命題，并說明理；
（Ⅲ）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于拋物線的一般性命題（注，不必證明）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設拋物線C的方程，利用拋物線的焦點F（1，0），確定p的值，從而可得拋物線C的方程；
（Ⅱ）命題是真命題．設直線AB的方程代入y²=4x，利用韋達定理確定線段AB中點的坐標，從而可得線段AB的垂直平分線的方程，進而可得M的坐標，結合拋物線的定義，即可證得結論；
（Ⅲ）過拋物線的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交對稱軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值是2．

解答：解：（Ⅰ）設拋物線C的方程為y²=2px（p＞0）；
∵拋物線的焦點F（1，0），
∴

p

2

=1，∴p=2
∴拋物線C的方程為y²=4x；…（3分）
（Ⅱ）命題是真命題，證明如下：…（4分）
設直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0）
代入y²=4x，消去x得ky²-4y-4k=0，…（5分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則y1+y2=

4

k

，y1•y2=-4…（6分）
∴x1+x2=

1

4

(

y

2 1

+

y

2 2

)=

1

4

[(

y

1

+

y

2

)2-2

y

1

y

2

]=

1

4

(

16

k2

+8)=

4

k2

+2
∴線段AB中點P(

2

k2

+1，

2

k

)…（7分）
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-

2

k2

-1)
令y=0，解得x=3+

2

k2

，即M(3+

2

k2

，0)，∴|FM|=

2

k2

+2…（8分）
由拋物線的定義知|AB|=x1+x2+p=

4

k2

+4…（9分）
∴

|AB|

|FM|

=2，證明完畢   …（10分）
（Ⅲ）過拋物線的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交對稱軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值是2．…（12分）
（注：如果考生給出“拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作與x軸不垂直的任意直線l交拋物線于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M，則

|AB|

|FM|

為定值，且定值是2”等，照樣給分．）

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．