Question

已知拋物線C的頂點在原點，焦點為F（0，1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）在拋物線C上是否存在點P，使得過點P的直線交C于另一點Q，滿足PF⊥QF，且PQ與C在點P處的切線垂直？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線C的方程是x²=ay，根據(jù)焦點為F的坐標求得a，進而可得拋物線的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），進而可得拋物線C在點P處的切線方程和直線PQ的方程，代入拋物線方程根據(jù)韋達定理，可求得x₁+x₂和x₁x₂的表達式，根據(jù)

FP

×

FQ

求得y₁=4及點P的坐標．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)拋物線C的方程是x²=ay，
則

a

4

=1，
即a=4．
故所求拋物線C的方程為x²=4y．
（Ⅱ）解：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則拋物線C在點P處的切線方程是y=

x1

2

x-y1，
直線PQ的方程是y=-

2

x1

x+2+y1．
將上式代入拋物線C的方程，得x2+

8

x1

x-4(2+y1)=0，
故x₁+x₂=-

8

x1

，x₁x₂=-8-4y₁，
所以x₂=-

8

x1

-x₁，y₂=

4

y1

+y₁+4．
而

FP

=（x₁，y₁-1），

FQ

=（x₂，y₂-1），

FP

×

FQ

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
=-4（2+y₁）+y₁（

4

y1

+y₁+4）-（

4

y1

+2y₁+4）+1
=y₁²-2y₁-

4

y1

-7
=（y₁²+2y₁+1）-4（

1

y1

+y₁+2）
=（y₁+1）²-

4(y1+1)2

y1

=

(y1-4)(y1+1)2

y1

=0，
故y₁=4，此時，點P的坐標是（±4，4）．
經(jīng)檢驗，符合題意．
所以，滿足條件的點P存在，其坐標為P（±4，4）．

點評：本題主要考查拋物線的標準方程以及拋物線與直線的關(guān)系．