絕密★啟用前
2003年普通高等學校招生全國統一考試（全國卷）
數學（文史類）
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．直線關于x軸對稱的直線方程為 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 （ ）
A． B．－ C． D．－
3．拋物線的準線方程是，則a的值為 （ ）
A． B．－ C．8 D．－8
4．等差數列{a n}中，已知 （ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
5．雙曲線虛軸的一個端點為M，兩個焦點為F1，F2，∠ F1MF2=120°則雙曲線的離心率為
（ ）
A． B． C． D．
6．設函數的取值范圍是 （ ）
A．（－1，1） B．（―1，+∞）
C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
7．已知 （ ）
A． B． C． D．
8．函數上的偶函數，則= （ ）
A．0 B． C． D．
9．已知點的距離為1，則a= （ ）
A． B．－ C． D．
10．已知圓錐的底面半徑為R，高為3R，它的內接圓柱的底面半徑為R，該圓柱的全面積為 （ ）
A． B． C． D．
11．已知長方形的四個頂點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）一質點從AB的中點P0沿與AB夾角為θ的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射角等于反射角）.若P4與P0重合，則tgθ= （ ）
A． B． C． D．1
12．一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為 （ ）
A． B．4 C． D．
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上.
13．不等式的解集是 .
14．的系數是 .
15．在平面幾何里，有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”
16．如圖，一個地區分為5個行政區域，現給地
圖著色，要求相鄰區域不得使用同一顏色，
現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方
法共有 種.（以數字作答）
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
（I）證明EF為BD1與CC1的公垂線；
（II）求點D1到面BDE的距離.
18．（本小題滿分12分）
已知復數z的輻角為60°，且|z－1|是|z|和|z－2|的等比中項，求|z|.
19．（本小題滿分12分）
已知數列||滿足
（I）求
（II）證明
20．（本小題滿分12分）
已知函數.
（I）函數數的最小正周期和最大值;
（II）在給出的直角坐標系中，畫出函數上的圖象.
21．（本小題滿分12分）
在某海濱城市附近海面有一臺風，據監測，當前臺風中心位于城市O（如圖）的東偏南
22．（本小題滿分14分）
一、
1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．D 8．C 9．C 10．B 11．C 12．A
二、13． 14． 15． 16．72
三、
17．（I）證明：取BD中點M，連結MC，FM，
∵F為BD1中點， ∴FM∥D1D且FM=D1D
又EC=CC1，且EC⊥MC，
∴四邊形EFMC是矩形 ∴EF⊥CC1
又CM⊥面DBD1 ∴EF⊥面DBD1
∵BD1面DBD1，
∴EF⊥BD1 故EF為BD1與CC1的公垂線
（II）解：連結ED1，有V
由（I）知EF⊥面DBD1，設點D1到面BDE的距離為d，
則S△DBC?d=S△DCD?EF.
∵AA1=2?AB=1.
故點D1到平面BDE的距離為.
18．解：設z=
由題設
即
（舍去）
即|z|=
19．（I）解∵
（II）證明：由已知
=
所以
20．解（I）
所以函數的最小正周期為π，最大值為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
1
1
1
21．解：如圖建立坐標系：以O為原點，正東方向為x軸正向.
在時刻：t（h）臺風中心的坐標為
此時臺風侵襲的區域是，
其中t+60，
若在t時，該城市O受到臺風的侵襲，則有
即
即， 解得.
答：12小時后該城市開始受到臺風氣侵襲
22．解：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得
點P到定點距離的和為定值.
按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）
設，
由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）.
直線OF的方程為：， ①
直線GE的方程為：. ②
從①，②消去參數k，得點P（x，y）坐標滿足方程，
整理得.
當時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.
當時，點P軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長.
當時，點P到橢圓兩個焦點的距離之和為定值.
當時，點P到橢圓兩個焦點的距離之
和為定值.
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