廣東省惠州市2008屆高三第二次調研考試
數學試題（文科） 2007.11
第Ⅰ卷（選擇題，共50分）
一．選擇題：本大題共l0小題，在每小題給出的四個選項中．只有一項是符合題目要求的．每小題5分，滿分50分．
1.命題“
”的否命題是( )．
A.
B.
C.
D.
2.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文
密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密規則為：明文
對應密文
，例如，明文
對應密文
．當接受方收到密文
時，則解密得到的明文為（ ）．
A． 4，6，1，7 B． 7，6，1，
3.已知向量
，
，若
，則實數
的值等于（ ）．
A. 
B.
C.
D.
4.已知橢圓的長軸長是短軸長的
倍，則橢圓的離心率等于（
）．
A．
B．
C． D．
5.在一次射擊訓練中，一小組的成績如下表：
環數
人數
已知該小組的平均成績為
環，那么成績為環的人數是（ ）．
．
．
．
．
6. 下列函數為奇函數的是（ ）．
．
．
．
．
7. 下列四個幾何體中，每個幾何體的三視圖有且僅有兩個視圖相同的是（ ）．
 |
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8.如果執行下面的程序框圖，那么輸出的
（ ）．
Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
9.將函數
的圖象先向左平移
，然后將所得圖象上
所有的點的橫坐標變為原來的倍（縱坐標不變），則所得到的圖象
對應的函數解析式為（ ）．
A．
B．
C．
D．
10.已知全集R，集合
,若a>b>0，
則有( )．
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非選擇題，共100分）
二．填空題：本大題共5小題，其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．每小題5分，滿分20分．
11．化簡：
．
12. 已知
是定義在R上的函數，且對任意
，都有：
，又
則
．
13.若實數
滿足條件
，則目標函數
的最大值為_____ ．
14. (坐標系與參數方程選做題)極坐標系中，圓
上的動點到直線
的距離的最大值是
．
15. (幾何證明選講選做題)如右圖所示，
是圓
的直徑，
，
，
，則
．
三．解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．
16.（本小題12分） 在△ABC中，
是角
所對的邊，且滿足
．
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)設
，求
的最小值.
17．(本小題14分)已知：正方體
，
，E為棱
的中點．
(Ⅰ)
求證：
；
(Ⅱ)
求證：
平面
；
（Ⅲ）求三棱錐
的體積．
18．（本小題12分）有朋自遠方來，已知他乘火車、輪船、汽車、飛機來的概率分別是
．
(Ⅰ)求他乘火車或飛機來的概率；
(Ⅱ)求他不乘輪船來的概率；
（Ⅲ)如果他來的概率為
，請問他有可能是乘何種交通工具來的？
19.（本小題14分）設函數
的圖象關于原點對稱，
的圖象在點
處的切線的斜率為
，且當
時
有極值．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求的所有極值．
20. (本小題14分)已知圓
：
和圓
，直線
與圓相切于點
；圓的圓心在射線
上，圓過原點，且被直線
截得的弦長為
．
(Ⅰ)求直線的方程；
(Ⅱ)求圓的方程．
21．（本小題14分）已知數列
是等差數列， 
；數列
的前n項和是
，且
．
(Ⅰ) 求數列的通項公式；
(Ⅱ) 求證：數列是等比數列；
(Ⅲ) 記
，求
的前n項和
．
廣東省惠州市2008屆高三第二次調研考試
題號
答案
1.解析：命題“
”的否命題是：“
”，故選C．
2.解析：由已知，得：
，故選．
3.解析：若
，則
，解得
．故選．
4.解析：由題意得
，又
．
故選．
5.解析：設成績為環的人數是
，由平均數的概念，得：
．
故選．
6.解析：是偶函數；是指數函數；是對數函數．故選．
7.解析：①的三視圖均為正方形；②的三視圖中正視圖．側視圖為相同的等腰三角形，俯視圖為圓；④的三視圖中正視圖．側視圖為相同的等腰三角形，俯視圖為正方形．故選．
8.解析：程序的運行結果是
，選．
9.解析：
的圖象先向左平移
，橫坐標變為原來的倍
．答案：．
10.解析：特殊值法：令
，有
．故選．
題號
11
12
13
14
15
答案
11.解析：
．
12.解析：令
，則
，令
，則
，
同理得
即當
時，
的值以為周期，
所以
．
13.解析：由圖象知：當函數
的圖象過點
時，
取得最大值為2．
14. (坐標系與參數方程選做題)解析：將極坐標方程轉化成直角坐標方程，圓
上的動點到直線
的距離的最大值就是圓心
到直線的距離
再加上半徑
．故填．
15. (幾何證明選講選做題)解析：連結
，
則在
和
中：
，
且
，所以
，
故
．
三．解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．
16.析：主要考察三角形中的邊角關系、向量的坐標運算、二次函數的最值．
解：(Ⅰ)∵
，∴
， ………………3分
又∵
，∴
． ……………………………………………5分
（Ⅱ）
……………………………………………6分
， ………………………8分
∵
，∴
． ……………10分
∴當
時，取得最小值為
． …………12分
17．析：主要考察立體幾何中的位置關系、體積．
解：(Ⅰ)證明：連結
，則//
， …………1分
∵
是正方形，∴
．∵
面，∴
．
又
，∴
面
． ………………4分
∵
面，∴
，
∴
． …………………………………………5分
（Ⅱ）證明：作
的中點F，連結
．
∵
是
的中點，∴
，
∴四邊形
是平行四邊形，∴ 
． ………7分
∵
是的中點，∴
，
又
，∴
．
∴四邊形
是平行四邊形，
//
，
∵
，
，
∴平面
面
． …………………………………9分
又
平面
，∴
面． ………………10分
（3）
． ……………………………11分
． ……………………………14分
18．析：主要考察事件的運算、古典概型．
解：設“朋友乘火車、輪船、汽車、飛機來”分別為事件
，則
，
，
，
，且事件之間是互斥的．
(Ⅰ)他乘火車或飛機來的概率為
………4分
(Ⅱ)他乘輪船來的概率是，
所以他不乘輪船來的概率為
． ………………8分
（Ⅲ)由于
，
所以他可能是乘飛機來也可能是乘火車或汽車來的． …………………12分
19.析：主要考察函數的圖象與性質，導數的應用．
解：(Ⅰ)由函數
的圖象關于原點對稱，得
，………………1分
∴
，∴
． …………2分
∴
，∴
． ……………………………4分
∴
，即
． ……………………6分
∴
． ……………………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，∴
．
由
，∴
． …………………9分
0
+
0
ㄋ
極小
ㄊ
極大
ㄋ
∴
． ………………………14分
20．析：主要考察直線．圓的方程，直線與圓的位置關系．
解：(Ⅰ)（法一）∵點
在圓
上， …………………………2分
∴直線
的方程為
，即
． ……………………………5分
（法二）當直線垂直軸時，不符合題意． ……………………………2分
當直線與軸不垂直時，設直線的方程為
，即
．
則圓心
到直線的距離
，即：
，解得
，……4分
∴直線的方程為． ……………………………………………5分
（Ⅱ）設圓
：
，∵圓過原點，∴
．
∴圓的方程為
．…………………………7分
∵圓被直線
截得的弦長為
，∴圓心
到直線：的距離：
． …………………………………………9分
整理得：
，解得
或
． ……………………………10分
∵
，∴． …………………………………………………………13分
∴圓：
． ……………………………………14分
21．析：主要考察等差、等比數列的定義、式，求數列的和的方法．
解：(Ⅰ)設
的公差為，則：
，
，
∵
，
，∴
，∴
． ………………………2分
∴
． …………………………………………4分
（Ⅱ）當
時，
，由
，得
． …………………5分
當
時，
，
，
∴
，即
． …………………………7分
∴
． ……………………………………………………………8分
∴
是以
為首項，為公比的等比數列． …………………………………9分
（Ⅲ）由（2）可知：
． ……………………………10分
∴
． …………………………………11分
∴
．
∴
．
∴
． ………………………………………13分
∴
． …………………………………………………14分
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