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1．有關平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計算角、與距離等)中不可缺少的內容，因此在主體幾何的總復習中，首先應從解決“平行與垂直”的有關問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規律――充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力．

2．判定兩個平面平行的方法：

   （1）根據定義――證明兩平面沒有公共點；

   （2）判定定理――證明一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面；

   （3）證明兩平面同垂直于一條直線。

3．兩個平面平行的主要性質：

    ⑴由定義知：“兩平行平面沒有公共點”。

    ⑵由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。

    ⑶兩個平面平行的性質定理：“如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那

么它們的交線平行”。

    ⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。

    ⑸夾在兩個平行平面間的平行線段相等。

    ⑹經過平面外一點只有一個平面和已知平面平行。

以上性質⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為“性質定理”，但在解題過程中均可直接作為性質定理引用。

4．空間的角和距離是空間圖形中最基本的數量關系，空間的角主要研究射影以及與射影有關的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問題的基本思路是把空間問題轉化為平面問題去解決．

空間的角，是對由點、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關系進行定量分析的一個重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角θ∈(0，]，直線與平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角θ∈0，π．

對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉化為一個平面內的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內角來解決，而這種轉化就是利用直線與平面的平行與垂直來實現的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應用．通過空間角的計算和應用進一步培養運算能力、邏輯推理能力及空間想象能力．

如求異面直線所成的角常用平移法（轉化為相交直線）與向量法；求直線與平面所成的角常利用射影轉化為相交直線所成的角；而求二面角a－l－b的平面角（記作q）通常有以下幾種方法：

(1) 根據定義；

(2) 過棱l上任一點O作棱l的垂面g，設g∩a＝OA，g∩b＝OB，則∠AOB＝q ；

(3) 利用三垂線定理或逆定理，過一個半平面a內一點A，分別作另一個平面b的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結AC，則∠ACB＝q 或∠ACB＝p－q；

(4) 設A為平面a外任一點，AB⊥a，垂足為B，AC⊥b，垂足為C，則∠BAC＝q或∠BAC＝p－q；

(5) 利用面積射影定理，設平面a內的平面圖形F的面積為S，F在平面b內的射影圖形的面積為S^¢，則cosq＝.

5.空間的距離問題，主要是求空間兩點之間、點到直線、點到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離．

求距離的一般方法和步驟是：一作――作出表示距離的線段；二證――證明它就是所要求的距離；三算――計算其值．此外，我們還常用體積法求點到平面的距離．

6．棱柱的概念和性質

⑴理解并掌握棱柱的定義及相關概念是學好這部分知識的關鍵，要明確“棱柱   直棱柱    正棱柱”這一系列中各類幾何體的內在聯系和區別。

⑵平行六面體是棱柱中的一類重要的幾何體，要理解并掌握“平行六面體   直平行六面體   長方體   正四棱柱   正方體”這一系列中各類幾何體的內在聯系和區別。

⑶須從棱柱的定義出發，根據第一章的相關定理對棱柱的基本性質進行分析推導，以求更好地理解、掌握并能正確地運用這些性質。

⑷關于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質外，還須掌握由其定義導出的一些其特有的性質，如長方體的對角線長定理是一個重要定理并能很好地掌握和應用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對應的性質，恰當地運用平行四邊形的性質及解題思路去解平行六面體的問題是一常用的解題方法。

⑸多面體與旋轉體的問題離不開構成幾何體的基本要素點、線、面及其相互關系，因此，很多問題實質上就是在研究點、線、面的位置關系，與《直線、平面、簡單幾何體》第一部分的問題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面積與體積的度量等．從這個角度來看，點、線、面及其位置關系仍是我們研究的重點．

７．經緯度及球面距離

⑴根據經線和緯線的意義可知，某地的經度是一個二面角的度數，某地的緯度是一個線面角的度數，設球O的地軸為NS，圓O是0°緯線，半圓NAS是0°經線，若某地P是在東經120°，北緯40°，我們可以作出過P的經線NPS交赤道于B，過P的緯線圈圓O₁交NAS于A，那么則應有：∠AO₁P=120°(二面角的平面角) ，∠POB=40°（線面角）。

⑵兩點間的球面距離就是連結球面上兩點的大圓的劣弧的長，因此，求兩點間的球面距離的關鍵就在于求出過這兩點的球半徑的夾角。

例如，可以循著如下的程序求A、P兩點的球面距離。

線段AP的長       ∠AOP的弧度數         大圓劣弧AP的長

８．球的表面積及體積公式

 S_球表=4πR²                   V_球=πR³

⑴球的體積公式可以這樣來考慮：我們把球面分成若干個邊是曲線的小“曲邊三角形”；以球心為頂點，以這些小曲邊三角形的頂點為底面三角形的頂點，得到若干個小三棱錐，所有這些小三棱錐的體積和可以看作是球體積的近似值.當小三棱錐的個數無限增加，且所有這些小三棱錐的底面積無限變小時，小三棱錐的體積和就變成球體積，同時小三棱錐底面面積的和就變成球面面積,小三棱錐高變成球半徑.由于第n個小三棱錐的體積＝S_nh_n（S_n為該小三棱錐的底面積,h_n為小三棱錐高），所以V_球＝S_球面?R＝?4πR²?R＝πR³.

    ⑵球與其它幾何體的切接問題，要仔細觀察、分析、弄清相關元素的位置關系和數量關系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問題平面化。

1．  須明確《直線、平面、簡單幾何體》中所述的兩個平面是指兩個不重合的平面。

２．三種空間角，即異面直線所成角、直線與平面所成角。平面與平面所成二面角。它們的求法一般化歸為求兩條相交直線的夾角，通常“線線角抓平移，線面角找射影，面面角作平面角”而達到化歸目的，有時二面角大小出通過cos=來求。

３．有七種距離，即點與點、點到直線、兩條平行直線、兩條異面直線、點到平面、平行于平面的直線與該平面、兩個平行平面之間的距離，其中點與點、點與直線、點到平面的距離是基礎，求其它幾種距離一般化歸為求這三種距離，點到平面的距離有時用“體積法”來求。

例1、⑴已知水平平面內的兩條相交直線a, b所成的角為，如果將角的平分線繞著其頂點，在豎直平面內作上下轉動， 轉動到離開水平位值的處，且與兩條直線a,b都成角，則與的大小關系是                                 （   ）

A. 或                 B. >或 < 

C. >                        D. <

⑵已知異面直線a,b所成的角為70,則過空間一定點O,與兩條異面直線a,b都成60角的直線有                                                           (   )條.

A. 1         B. 2         C. 3           D. 4

⑶異面直線a,b所成的角為,空間中有一定點O,過點O有3條直線與a,b所成角都是60,則的取值可能是          (   ).

A. 30      B. 50      C. 60       D. 90

分析與解答:

⑴ 如圖1所示,易知直線上點Ａ在平面上的射影是ι上的點B,過點B作BC⊥b,

則AC⊥b.   在Rt△OBC和Rt△OAC中，tg=,tg=.顯然，AC>BC,

∴tan> tan,又、（0，，∴ ＞.故選C.　　　　　　　　　　　　　　　　

                                                                   ι

（２）Ｄ（３）Ｃ

圖１

例2、已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點.

   （1）求證：MN⊥AB；

   （2）設平面PDC與平面ABCD所成的二面角為銳角θ，問能否確定θ使直線MN是異

面直線AB與PC的公垂線？若能，求出相應θ的值；若不能，說明理由.

解：（1）∵PA⊥矩形ABCD，BC⊥AB，∴PB⊥BC，PA⊥AC，即△PBC和△PAC都是

以PC為斜邊的直角三角形，，又M為AB的中點，∴MN⊥AB.

（2）∵AD⊥CD，PD⊥CD.∴∠PDA為所求二面角的平面角，即∠PDA=θ.

設AB=a，PA=b，AD=d，則， 

設PM=CM則由N為PC的中點，∴MN⊥PC由（1）可知MN⊥AB，

∴MN為PC與AB的公垂線，這時PA=AD，∴θ=45°。

（1）求證：AB₁⊥平面CED；

（2）求異面直線AB₁與CD之間的距離；

（3）求二面角B₁―AC―B的平面角.

解:（1）∵D是AB中點，△ABC為等腰直角三角形，

∠ABC=90⁰，∴CD⊥AB又AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥AA₁.

∴CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥AB₁，又CE⊥AB₁，

 ∴AB₁⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥DE

∵AB₁⊥平面CDE  ∴DE⊥AB_1,

∴DE是異面直線AB₁與CD的公垂線段

∵CE=，AC=1 , ∴CD=∴；

（3）連結B₁C，易證B₁C⊥AC，又BC⊥AC ,

∴∠B₁CB是二面角B₁―AC―B的平面角.

在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B₁AC=60⁰

∴，  ∴,

∴  , ∴.

說明：作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當然, 準確地作出應當有嚴格的邏輯推理作為基石.

例4、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，S D=，在線段SA上取一點E（不含端點）使EC=AC，截面CDE與SB交于點F。

（1）求證：四邊形EFCD為直角梯形；

（2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值；

（3）設SB的中點為M，當的值是多少時，能使△DMC

為直角三角形？請給出證明.

解：（1）∵　CD∥AB，AB平面SAB ∴CD∥平面SAB

面EFCD∩面SAB=EF，

∴CD∥EF ∵

又面 

∴ 平面SAD，∴又 

為直角梯形 

（2）平面∥平面SAD

即為二面角D―EF―C的平面角

中

而且

為等腰三角形，    

(3)當時，為直角三角形 .

 ,

平面平面.

在中，為SB中點，.

平面平面 為直角三角形。

例5．如圖，在棱長為1的正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AC與BD交于點E，CB與CB₁交于點F.

（II）求二面角B―EF―C的大小（結果用反三角函數值表示）.

解法一：（Ⅰ）∵A₁A⊥底面ABCD，則AC是A₁C在底面ABCD的射影.

∵AC⊥BD.∴A₁C⊥BD.

同理A₁C⊥DC₁,又BD∩DC₁=D,

∴A₁C⊥平面BDC_1.

（Ⅱ）取EF的中點H，連結BH、CH，

又E、F分別是AC、B₁C的中點，

解法二：（Ⅰ）以點C為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則C(0,0,0).

D(1,0,0),B(0,1,0),A₁(1,1,1),C₁(0,0,1),D₁(1,0,1)

（Ⅱ）同（I）可證，BD₁⊥平面AB₁C.