第5講 數形結合思想在解題中的應用
一、知識整合
1．數形結合是數學解題中常用的思想方法，使用數形結合的方法，很多問題能迎刃而解，且解法簡捷。所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法。數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，它是數學的規律性與靈活性的有機結合。
2．實現數形結合，常與以下內容有關：①實數與數軸上的點的對應關系；②函數與圖象的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復數、三角函數等；⑤所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義。
3．縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究“以形助數”。
4．數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域，最值問題中，在求復數和三角函數問題中，運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數想圖，以開拓自己的思維視野。
二、例題分析
例1.
分析：
，
例2.
法二、數形結合解法：
例3.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 1個或2個或3個
分析：
出兩個函數圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選（B）。
例4.
分析：
例5.
分析：
構造直線的截距的方法來求之。
截距。
例6.
分析：
以3為半徑的圓在x軸上方的部分，（如圖），而N則表示一條直線，其斜率k=1，縱截
例7.
MF1的中點，O表示原點，則|ON|=（ ）
分析：①設橢圓另一焦點為F2，（如圖），
又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點，
∴ON是△MF1F2的中位線，
②若聯想到第二定義，可以確定點M的坐標，進而求MF1中點的坐標，最后利用兩點間的距離公式求出|ON|，但這樣就增加了計算量，方法較之①顯得有些復雜。
例8.
分析：
例9.
解法一（代數法）：，
解法二（幾何法）：
例10.
分析：
轉化出一元二次函數求最值；倘若對式子平方處理，將會把問題復雜化，因此該題用常規解法顯得比較困難，考慮到式中有兩個根號，故可采用兩步換元。
解：
第一象限的部分（包括端點）有公共點，（如圖）
相切于第一象限時，u取最大值
數形結合思想是解答數學試題的的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題是發揮著奇特功效，復習中要以熟練技能、方法為目標，加強這方面的訓練，以提高解題能力和速度。
見優化設計。
【模擬試題】
一、選擇題：
1. 方程的實根的個數為（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
2. 函數的圖象恰有兩個公共點，則實數a的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
3. 設命題甲：，命題乙：，則甲是乙成立的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 不充分也不必要條件
4. 適合且的復數z的個數為（ ）
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 4個
5. 若不等式的解集為則a的值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知復數的最大值為（ ）
A. B. C. D.
7. 若時，不等式恒成立，則a的取值范圍為（ ）
A. （0，1） B. （1，2） C. （1，2] D. [1，2]
8. 定義在R上的函數上為增函數，且函數的圖象的對稱軸為，則（ ）
A. B.
C. D.
二、填空題：
9. 若復數z滿足，則的最大值為___________。
10. 若對任意實數t，都有，則、由小到大依次為___________。
11. 若關于x的方程有四個不相等的實根，則實數m的取值范圍為___________。
12. 函數的最小值為___________。
13. 若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數m的取值范圍是___________。
三、解答題：
14. 若方程上有唯一解，
求m的取值范圍。
15. 若不等式的解集為A，且，求a的取值范圍。
16. 設，試求下述方程有解時k的取值范圍。
【試題答案】
一、選擇題
1. C
提示：畫出在同一坐標系中的圖象，即可。
2. D
提示：畫出的圖象
情形1：
情形2：
3. A
4. C
提示：|Z－1|=1表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓，顯然點Z對應的復數滿足條件，另外，點O對應的復數O，因其輻角是多值，它也滿足，故滿足條件的z有兩個。
5. B
提示：畫出的圖象，依題意，從而。
6. C
提示：由可知，z2對應的點在以（0，0）為圓心，以2為半徑的圓上，
而
表示復數對應的點的距離，
結合圖形，易知，此距離的最大值為：
7. C
提示：令，
若a>1，兩函數圖象如下圖所示，顯然當時，
要使，只需使，綜上可知
當時，不等式對恒成立。
若，兩函數圖象如下圖所示，顯然當時，不等式恒不成立。
可見應選C
8. A
提示：f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個單位而得到的，又知f(x+2)的圖象關于直線x=0（即y軸）對稱，故可推知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，由f(x)在（）上為增函數，可知，f(x)在上為減函數，依此易比較函數值的大小。
二、填空題：
9.
提示：|Z|=2表示以原點為原心，以2為半徑的圓，即滿足|Z|=2的復數Z對應的點在圓O上運動，（如下圖），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示復數Z與－1+i對應的兩點的距離。
由圖形，易知，該距離的最大值為。
10.
提示：由知，f(x)的圖象關于直線x=2對稱，又為二次函數，其圖象是開口向上的拋物線，由f(x)的圖象，易知的大小。
11.
提示：設，畫出兩函數圖象示意圖，要使方程有四個不相等實根，只需使
12. 最小值為
提示：對，聯想到兩點的距離公式，它表示點（x，1）到（1，0）的距離，表示點（x，1）到點（3，3）的距離，于是表示動點（x，1）到兩個定點（1，0）、（3，3）的距離之和，結合圖形，易得。
13.
提示：y=x－m表示傾角為45°，縱截距為－m的直線方程，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在x軸上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距，即。
三、解答題：
14. 解：原方程等價于
令，在同一坐標系內，畫出它們的圖象，
其中注意，當且僅當兩函數的圖象在[0，3）上有唯一公共點時，原方程有唯一解，由下圖可見，當m=1，或時，原方程有唯一解，因此m的取值范圍為[－3，0]{1}。
注：一般地，研究方程時，需先將其作等價變形，使之簡化，再利用函數圖象的直觀性研究方程的解的情況。
15. 解：令表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在x軸的上方的部分（包括圓與x軸的交點），如下圖所示，表示過原點的直線系，不等式的解即是兩函數圖象中半圓在直線上方的部分所對應的x值。
由于不等式解集
因此，只需要
∴a的取值范圍為（2，+）。
16. 解：將原方程化為：，
∴
令，它表示傾角為45°的直線系，
令，它表示焦點在x軸上，頂點為（－a，0）（a，0）的等軸雙曲線在x軸上方的部分，
∵原方程有解，
∴兩個函數的圖象有交點，由下圖，知
∴
∴k的取值范圍為
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