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2008年威海市高考模擬考試
理科數學
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共7頁．考試時間120分鐘．滿分150分．
答題前，考生務必用
答題可能用到的參考公式：
如果事件A，B互斥，那么
P (A + B ) = P (A ) + P (B )
如果事件A，B互相獨立，那么
P (A?B ) = P (A )?P (B )
如果事件A在一次試驗中發生的概率是P，那么
它在n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率
C
球的表面積和體積公式
其中R表示球的半徑
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
注意事項：
1．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題卷上．
2．第Ⅰ卷只有選擇題一道大題．
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
（1）與命題“若
，則
”等價的命題是
（A）若
，則 （B）若，則
（C）若，則
（D）若，則
（2）已知三角形的邊長分別為
、
、
，則它的最大內角的度數是
（A）90° （B）120° （C）135° （D）150°
（3）已知 
，且 
，則 
的值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）設
、
都是正數，則
的最小值是
（A）6 （B）16 （C）26 （D）36
（5）已知函數 
，則 
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知有
、
為兩條不同的直線，
、
為兩個不同的平面，則下列命題中正確的命題是
（A）若 
，
，∥，∥，則 ∥
（B）若 ，
，∥，則 ∥
（C）若 
，
，則 ∥
（D）若 ∥，
，則
（7）已知 ， 滿足約束條件 
則 
的最大值是
（A）12 （B）15 （C）17 （D）20
（8）已知等比數列的各項均為正數，其前項和為
，且
，
，則此等比數列的公比等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）已知雙曲線的中心在坐標原點，焦點在 軸上，一條漸近線的方程為 
，則它的離心率為
（A）
（B）
（C）
（D）
 |
（10）右圖是計算 
的
值的算法框圖，其中在判斷框中應填入的
條件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）一個袋子里裝有編號為1，2，…，12的12個相同大小的小球，其中1到6號球是紅色球，其余為黑色球．若從中任意摸出一個球，記錄它的顏色和號碼后再放回到袋子里，然后再摸出一個球，記錄它的顏色和號碼，則兩次摸出的球都是紅球，且至少有一個球的號碼是偶數的概率是
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）定義域為
的函數 
不恒為零，且對于定義域內的任意實
數 、 都有 
成立，則
（A）是奇函數，但不是偶函數 （B）是偶函數，但不是奇函數
（C）既是奇函數，又是偶函數 （D）既不是奇函數，又不是偶函數
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
注意事項：
1． 請用
2． 不在指定答題位置答題或超出答題區域書寫的答案無效．在試題卷上答題無效．
3． 第Ⅱ卷共包括填空題和解答題兩道大題．
二．填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．
（13）某地球儀上北緯30°緯線的長度為
cm，則該地球儀的表面積是 cm2 ．
（14）已知復數 
（ 
為實數，
為虛數單位），
，且 
為純虛數，
則實數 的值是
．
（15）過點（0，―1）的直線與拋物線 
相交于 A、B 兩點，O 為坐標原點，則
．
（16）已知在
的展開式中，各項的二項式系數之和是64，則
的展開式中，
項的系數是 ．
（17）（本小題滿分12分）
三．解答題：本大題共６小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
向量m 
（
），n 
，函數
m
n
，若圖象上相鄰兩個對稱軸間的距離為
且當
時，函數的最小值為0.
（Ⅰ）求函數的表達式；
（Ⅱ）在△
中, 若
，且 
，求 
的值.
（18）（本小題滿分12分）
如圖所示，已知四棱錐 S―ABCD
的底面 ABCD 是矩形，M、N 分別是 CD、SC 的中點，SA ⊥底面ABCD，SA = AD = 1，AB = 
．
（Ⅰ）求證：MN ⊥平面ABN；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值．
（19）（本小題滿分12分）
某企業準備投產一種新產品，經測算，已知每年生產
（
）萬件的該種
產品所需要的總成本為 
（）萬元，市場銷售情況
可能出現好、中、差三種情況，各種情況發生的概率和相應的價格 
（元）與年產量 之間的函數關系如下表所示．
市場情況
概率
價格與產量的函數關系式
好
0.3
中
0.5
差
0.2
設 
、
、
分別表示市場情況好、中、差時的利潤，隨機變量
表示當年產量為 而市場情況不確定時的利潤．
（Ⅰ）分別求利潤 、、 與年產量 之間的函數關系式；
（Ⅱ）當產量 確定時，求隨機變量 的期望 
；
（Ⅲ）求年產量 為何值時，隨機變量 的期望 取得最大值（不需求最大值）．
（20）（本小題滿分12分）
已知函數 與 
（ 為常數）的圖象關于直線 
對稱，且 是 的一個極值點．
（Ⅰ）求出函數 的表達式和單調區間；
（Ⅱ）若已知當 
時，不等式 
恒成立，求 的取值范圍．
（21）（本小題滿分12分）
已知橢圓C：
的中心關于直線 
的對稱點落在直線 
（其中
）上，且橢圓 C 的離心率為 
．
（Ⅰ）求橢圓 C 的方程；
（Ⅱ）設A（3，0），M、N 是橢圓 C 上關于 軸對稱的任意兩點，連結 AN 交橢圓于另一點 E，求證直線 ME 與 軸相交于定點．
 |
（22）（本小題滿分14分）
數列 
滿足：
（
），且 
（
，
N?）．
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求證：
．
2008年威海市高考模擬考試
一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．）
D C B B C D C A C C A A
二．填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．）
（13）
（14）
（15）―1 （16）
三．解答題
（17）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）：
． 3分
依題意，
的周期
，且
，∴ 
．∴
．
∴ 
． 5分
∵ 
[0，
], ∴ 
≤
≤
，∴ 
≤
≤1，
∴ 的最小值為 
，即 
∴
．
∴ 
． 7分
（Ⅱ）∵ 
=2
， ∴ 
．
又 ∵ ∠
∈（0，）， ∴ ∠＝
． 9分
在
△ABC中，∵ 
，
，
∴ 
，
．解得 
．
又 ∵ 0
， ∴ 
． 12分
（18）（本小題滿分12分）
解：以A點為原點，AB為軸，AD為
軸，AD
為
軸的空間直角坐標系，如圖所示．則依題意可知相
關各點的坐標分別是A（0，0，0），B（
，0，0），
C（，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），
∴ M（
，1，0），N（，
，）． 2分
∴ 
（0，
，），
（，0，0），
（，，）． 4分
∴ 
，
．∴ 
，
．
∴ MN ⊥平面ABN． 6分
（Ⅱ）設平面NBC的法向量為
（
，
，
），則
，
．且又易知 
，
．
∴ 
即 
∴ 
令
，則（
，0，）． 9分
顯然，（0，，）就是平面ABN的法向量．
∴ 
．
∴ 二面角
的余弦值是
． 12分
（19）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意得
（
）； 3分
同理可得
（）；
（）． 5分
（Ⅱ）
． 8分
（Ⅲ）由上問知
，即
是關于的三次函數，設
，則
．
令
，解得 
或 
（不合題意，舍去）．
顯然當 
時，
；當 
時，
．
∴ 當年產量
時，隨機變量
的期望 取得最大值． 12分
（20）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設
（，）是函數 的圖象上任意一點，則容易求得點關于直線 
的對稱點為
（
，），依題意點（，）在
的圖象上，
∴
． ∴ 
． 2分
∴
．
∵ 是 的一個極值點，∴ 
，解得 
．
∴ 函數 的表達式是 
（
）． 4分
∴
．
∵ 函數 的定義域為（
）， ∴ 只有一個極值點，且顯然當
時，；當
時，．
∴ 函數 的單調遞增區間是
；單調遞減區間是
． 6分
（Ⅱ）由 
，
得
，∴ 
． 9分
∴ 
在
時恒成立．
∴
只需求出 
在 時的最大值和
在
時的最小值，即可求得
的取值范圍．
∵ 
（當 時）；
（當 時）．
∴
的取值范圍是 
．
12分
（21）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵ 
，
∴
．
設O關于直線 
的
對稱點為
的橫坐標為 
．
又易知直線
解得線段
的中點坐標
為（1，－3）．∴
．
∴ 橢圓方程為 
． 5分
（Ⅱ）顯然直線AN存在斜率，設直線AN的方程為 
，代入 并整理得：
．
設點
，
，則
．
由韋達定理得 
，
． 8分
∵ 直線ME方程為 
，令
，得直線ME與x軸的交點的橫坐標 
．
將
，
代入，并整理得 
． 10分
再將韋達定理的結果代入，并整理可得
．
∴ 直線ME與軸相交于定點（
，0）． 12分
（22）（本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）∵
，
，且 
（
，
N?），
∴
． 2分
將
去分母，并整理得 
． 5分
∴
，
，……，，
將這
個同向不等式相加，得 
，∴ 
． 7分
（Ⅱ）∵
，∴ 
． 9分
∴
．即 
． 11分
∴ 
，即
． 14分
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