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16、如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E，F，G分別是AA₁，AC，BB₁的中點，且CG⊥C₁G．
（Ⅰ）求證：CG∥平面BEF；
（Ⅱ）求證：平面BEF⊥平面A₁C₁G．

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過拋物線x²=4y的焦點F作傾斜角為α的直線交拋物線于P、Q兩點，過點P作拋物線的切線l交y軸于點T，過點P作切線l的垂線交y軸于點N．
（Ⅰ）求證：|NF|=|TF|=|PF|；
（Ⅱ）若cosα=

4

5

，求此拋物線與線段PQ所圍成的封閉圖形的面積．

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如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P為BC邊的中點，SB與平面ABCD所成的角為45°，且AD=2，SA=1．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面SAP，
（Ⅱ）求二面角A-SD-P的大小的正切值．

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一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．）

D C B B C       D C A C C       A A

二．填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．）

（13）       （14）        （15）―1        （16）

三．解答題

（17）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）：

．           3分

依題意，的周期，且，∴ ．∴．

∴ ．                                            5分

∵ [0，], ∴ ≤≤，∴ ≤≤1，

  ∴ 的最小值為 ，即    ∴ ．

∴ ．                                            7分

（Ⅱ）∵ =2， ∴ ．

又 ∵ ∠∈（0，）， ∴ ∠＝．                                  9分

在△ABC中，∵ ，，

∴ ，．解得 ．

又 ∵ 0， ∴ ．                                 12分

（18）（本小題滿分12分）

解：以A點為原點，AB為軸，AD為軸，AD

為軸的空間直角坐標系，如圖所示．則依題意可知相

關各點的坐標分別是A（0，0，0），B（，0，0），

C（，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），

   ∴ M（，1，0），N（，，）．                                  2分

   ∴ （0，，），（，0，0），（，，）．    4分

   ∴ ，．∴ ，．

   ∴ MN ⊥平面ABN．                                                      6分

   （Ⅱ）設平面NBC的法向量為（，，），則，．且又易知 ，．

   ∴   即    ∴

   令，則（，0，）．                                           9分

   顯然，（0，，）就是平面ABN的法向量．

∴ ．

   ∴ 二面角的余弦值是．                                    12分

（19）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）由題意得

（）；                             3分

同理可得（）；

（）．                           5分

（Ⅱ）．        8分

（Ⅲ）由上問知 ，即是關于的三次函數，設

，則．

令，解得  或 （不合題意，舍去）．

顯然當  時，；當  時，．

∴ 當年產量   時，隨機變量  的期望  取得最大值．              12分

（20）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）設（，）是函數 的圖象上任意一點，則容易求得點關于直線  的對稱點為（，），依題意點（，）在的圖象上，

∴ ． ∴ ．            2分

∴ ．

∵ 是  的一個極值點，∴ ，解得 ．

∴ 函數  的表達式是 （）．            4分

∴ ．

∵ 函數  的定義域為（）， ∴  只有一個極值點，且顯然當

時，；當時，．

∴ 函數  的單調遞增區間是；單調遞減區間是．           6分

（Ⅱ）由 ，

得 ，∴ ．      9分

∴  在 時恒成立．

∴ 只需求出  在   時的最大值和  在

 時的最小值，即可求得  的取值范圍．

∵ （當  時）；

（當  時）．

∴   的取值范圍是 ．                                         12分

（21）（本小題滿分12分）

解：（Ⅰ）∵ ，

∴．

設O關于直線 的

對稱點為的橫坐標為 ．

又易知直線  解得線段的中點坐標

為（1，－3）．∴．

∴ 橢圓方程為 ．                                           5分

（Ⅱ）顯然直線AN存在斜率，設直線AN的方程為 ，代入 并整理得：． 

設點，，則．

由韋達定理得 ，．                       8分

∵ 直線ME方程為 ，令，得直線ME與x軸的交點的橫坐標 ．

將，代入，并整理得 ．   10分

再將韋達定理的結果代入，并整理可得．

∴ 直線ME與軸相交于定點（，0）．                                  12分

（22）（本小題滿分14分）

證明：（Ⅰ）∵ ，，且 （，N?），

∴  ．                                                            2分

將 去分母，并整理得 ．                      5分

∴ ，，……，，

將這個同向不等式相加，得 ，∴ ．    7分

（Ⅱ）∵ ，∴ ．                     9分

∴ ．即 ．                        11分

∴ ，即

．                                                14分