Question

16、如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E，F，G分別是AA₁，AC，BB₁的中點，且CG⊥C₁G．
（Ⅰ）求證：CG∥平面BEF；
（Ⅱ）求證：平面BEF⊥平面A₁C₁G．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AG交BE于D，連接DF，EG，要證CG∥平面BEF，只需證明直線CG平行平面BEF內的直線DF即可；
（Ⅱ）要證平面BEF⊥平面A₁C₁G，只需證明平面BEF的直線DF，垂直平面A₁C₁G內的兩條相交直線A₁C₁、C₁G，即可證明DF⊥平面A₁C₁G，從而證明平面BEF⊥平面A₁C₁G

解答：證明：（Ⅰ）連接AG交BE于D，連接DF，EG．
∵E，G分別是AA₁，BB₁的中點，
∴AE∥BG且AE=BG，
∴四邊形AEGB是矩形．
∴D是AG的中點（3分）
又∵F是AC的中點，
∴DF∥CG（5分）
則由DF?面BEF，CG?面BEF，得CG∥面BEF（7分）
（注：利用面面平行來證明的，類似給分）

（Ⅱ）∵在直三棱柱ABC-AB₁C₁中，C₁C⊥地面A₁B₁C₁，
∴C₁C⊥A₁C₁．
又∵∠A₁B₁C₁=∠ABC=90^O，即C₁B₁⊥A₁C₁，
∴A₁C₁⊥面B₁C₁CB（9分）
而CG?面B₁C₁CB，
∴A₁C₁⊥CG（11分）
又CG⊥C₁G，
由（Ⅰ）DF∥CG，
∴A₁C₁⊥DF，DF⊥C₁G
∴DF⊥平面A₁C₁G（13分）
∵DF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面A₁C₁G．（14分）

點評：本題考查直線與平面的平行的判定 平面與平面垂直的判定，開心邏輯思維能力 空間想象能力，是中檔題．