題目列表(包括答案和解析)
差數列
中，已知前15項的和
，則
等于（ ）
A．
B．12 C．
D．6
| A．9 | B．27 | C．18 | D．54 |
一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．）
D C B B C D C A C C A A
二．填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．）
（13）
（14）
（15）―1 （16）
三．解答題
（17）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）：
． 3分
依題意，
的周期
，且
，∴ 
．∴
．
∴ 
． 5分
∵ 
[0，
], ∴ 
≤
≤
，∴ 
≤
≤1，
∴ 的最小值為 
，即 
∴
．
∴ 
． 7分
（Ⅱ）∵ 
=2
， ∴ 
．
又 ∵ ∠
∈（0，）， ∴ ∠＝
． 9分
在
△ABC中，∵ 
，
，
∴ 
，
．解得 
．
又 ∵ 0
， ∴ 
． 12分
（18）（本小題滿分12分）
解：以A點為原點，AB為軸，AD為
軸，AD
為
軸的空間直角坐標系，如圖所示．則依題意可知相
關各點的坐標分別是A（0，0，0），B（
，0，0），
C（，1，0），D（0，1，0），S（0，0，1），
∴ M（
，1，0），N（，
，）． 2分
∴ 
（0，
，），
（，0，0），
（，，）． 4分
∴ 
，
．∴ 
，
．
∴ MN ⊥平面ABN． 6分
（Ⅱ）設平面NBC的法向量為
（
，
，
），則
，
．且又易知 
，
．
∴ 
即 
∴ 
令
，則（
，0，）． 9分
顯然，（0，，）就是平面ABN的法向量．
∴ 
．
∴ 二面角
的余弦值是
． 12分
（19）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意得
（
）； 3分
同理可得
（）；
（）． 5分
（Ⅱ）
． 8分
（Ⅲ）由上問知
，即
是關于的三次函數，設
，則
．
令
，解得 
或 
（不合題意，舍去）．
顯然當 
時，
；當 
時，
．
∴ 當年產量
時，隨機變量
的期望 取得最大值． 12分
（20）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）設
（，）是函數 的圖象上任意一點，則容易求得點關于直線 
的對稱點為
（
，），依題意點（，）在
的圖象上，
∴
． ∴ 
． 2分
∴
．
∵ 是 的一個極值點，∴ 
，解得 
．
∴ 函數 的表達式是 
（
）． 4分
∴
．
∵ 函數 的定義域為（
）， ∴ 只有一個極值點，且顯然當
時，；當
時，．
∴ 函數 的單調遞增區間是
；單調遞減區間是
． 6分
（Ⅱ）由 
，
得
，∴ 
． 9分
∴ 
在
時恒成立．
∴
只需求出 
在 時的最大值和
在
時的最小值，即可求得
的取值范圍．
∵ 
（當 時）；
（當 時）．
∴
的取值范圍是 
．
12分
（21）（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵ 
，
∴
．
設O關于直線 
的
對稱點為
的橫坐標為 
．
又易知直線
解得線段
的中點坐標
為（1，－3）．∴
．
∴ 橢圓方程為 
． 5分
（Ⅱ）顯然直線AN存在斜率，設直線AN的方程為 
，代入 并整理得：
．
設點
，
，則
．
由韋達定理得 
，
． 8分
∵ 直線ME方程為 
，令
，得直線ME與x軸的交點的橫坐標 
．
將
，
代入，并整理得 
． 10分
再將韋達定理的結果代入，并整理可得
．
∴ 直線ME與軸相交于定點（
，0）． 12分
（22）（本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）∵
，
，且 
（
，
N?），
∴
． 2分
將
去分母，并整理得 
． 5分
∴
，
，……，，
將這
個同向不等式相加，得 
，∴ 
． 7分
（Ⅱ）∵
，∴ 
． 9分
∴
．即 
． 11分
∴ 
，即
． 14分
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