重慶西南師大附中2009屆第七次月考
數 學 試 題（理）
2009年4月
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．共150分，考試時間120分鐘．
一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．
復數
等于（ ）
A．2 B．?
2．
集合
，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．
函數
的圖象的兩條相鄰對稱軸間的距離為（ ）
A．
B．
C．
D．
4． 設等比數列{an}中，前n項和為Sn，已知S3 = 8，S6 = 7，則a7 + a8 + a9等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．
平面
平面
的一個充要條件是（ ）
A．存在一條直線l，
B．存在一個平面
C．存在一個平面
D．存在一條直線l，
6．
平面上的向量
滿足
，若向量
，則
的最大值為（ ）
A．
B．
C．
D．
7．
①若
～
，則
；②若～N(2，4)，則
～N(0，1)；③在某項測量中，測量結果服從正態分布N(1，
)
，若在（0，2）內取值的概率為0.8，則在（0，1）內取值的概率為0.4．其中正確的命題是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．
已知P是橢圓
上的一點，F1、F2是該橢圓的兩個焦點，若△PF
，則
的值為（ ）
A．
B．
C．
D．0
9．
已知函數
，且關于x的方程
有6個不同的實數解，若最小實數解為 ? 3，則a + b的值為（ ）
A．? 3 B．?
10．
若
，其中
，且
，則實數對（x，y）表示坐標平面上不同點的個數為（ ）
A．50個 B．70個 C．90個 D．180個
二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．
11．
的值等于________________．
12．
在
的展開式中，x7的系數是15，則實數a = _______________．
13．
若A為不等式組
表示的平面區域，則當a從? 2 連續變化到1時，動直線
掃過A中的那部分區域的面積為_______________．
14．
已知三棱錐S―ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，
，則三棱錐的體積與球的體積之比是_______________．
15．
關于函數
（a為常數且a > 0）．對于下列命題：
①函數
的最小值是? 1；
②函數在每一點處都連續；
③函數在R上存在反函數；
④函數在x = 0處可導；
⑤對任意x1 < 0、x2 < 0且x1≠x2，恒有
．
其中正確的命題的序號是___________________．
三、解答題：本題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
16． (本小題滿分13分)
已知A、B、C是△ABC的三個內角，向量m
=
，n =
，且m?n = 1．
(1) 求角A；
(2) 若
，求
的值．
17． (本小題滿分13分)
一次數學考試中共有10道選擇題，每道選擇題有4個選項，其中有且僅有一個是正確的．評分標準規定：“每題只選1項，答對得5分，不答或答錯得0分．”某考生每道題都給出了一個答案，已經確定有7道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道可以判斷出一個選項是錯誤的，還有一道題因完全不會做只能亂猜，試求出該考生：
(1) 得50分的概率；
(2) 所得分數的分布列與數學期望．
18． (本小題滿分13分)
如圖，已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是邊長為2的正三角形，且DE = 2AB = 2，F是CD的中點．
(1) 求證：AF∥平面BCE；
(2) 
求面ABC與面EDC所成的二面角的大�。ㄖ磺笃渲袖J角）；
(3) 求BE與平面AFE所成角的大�。�
19． (本小題滿分12分)
已知函數
，其中a > 0．
(1) 求的單調區間；
(2) 設的最小值為
，求證：
．
20． (本小題滿分12分)
如圖，已知雙曲線
，其右準線交x軸于點A，雙曲線虛軸的下端點為B，過雙曲線的右焦點F（c，0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，直線AB交PF于點D，且點D滿足
（O為原點）．
(1) 求雙曲線的離心率；
(2) 若a = 2，過點B的直線l交雙曲線于M、N兩點，問在y軸上是否存在定點C使
為常數？若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．
21． (本小題滿分12分)
已知點P在曲線C：
上，曲線C在點P處的切線與函數
的圖象交于點A，與x軸交于點B，設點P的橫坐標為t，點A、B的橫坐標分別為xA、xB，記
．
(1) 求
的解析式；
(2) 設數列{an}滿足
，求數列{an}的通項公式；
(3) 在 (2) 的條件下，當1 < k < 3時，證明不等式
．
西南師大附中高2009級第七次月考
2009年4月
一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．
1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B 9．B 10．C
二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．
11．
12．
13．
14．
15．①②⑤
三、解答題：本題共6小題，共75分．
16．解：(1) 
??????????????????????????????????????? 3分
∴ 
∵ 
∴ 
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
∴ 
(2) 
????????????????????????????????????????????????????? 8分
∴ 
????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
∴ 
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
∴ 
?????????????? 13分
17．解：(1) 有兩道題答對的概率為
，有一道題答對的概率為
??????????????????????????? 2分
∴ 
????????????????????????????????????????????????????????? 5分
(2) 
?????????????????????????????????????????????????????? 7分
?????????????????????????????? 9分
??????????????????????????????? 11分
∴ 
的分布列為
35
40
45
50
P
???????????????????????????????????? 13分
18．(1) 證明：取CE中點M，則 FM
DE
∵ ABDE ∴ ABFM
∴ ABMF為平行四邊形
∴ AF∥BM
又AF
平面BCE，BM
平面BCE
∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
(2) 解：過C作l∥AB，則l∥DE ∴ 平面ABC
平面CDE = l
∵ AB⊥平面ACD ∴ l⊥平面ACD
∴ ∠ACD即為所求二面角的平面角，為60
?????????????????????????????????? 8分
(3) 解：設B在平面AFE內的射影為
，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G．
∴ BE與平面AFE所成角為
∵ AF⊥CD，AF⊥DE ∴ AF⊥平面CDE ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF
∵ BM∥平面AEF ∴ 
由△CGF∽△EDF，得
∴ 
而 
∴ 
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分
19．解：(1) 
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
由
由
∴ 
上單調遞減，在
上單調遞增????????????????????????? 5分
(2) 
?????????????????????????????????????????? 6分
∵ 上遞減 ∴ 
??????????????? 9分
設
∵ 
∴
上遞減
∴ 
即 
∴ 
???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．解：(1) B（0，? b），A（
，0），F（c，0），P（c，
）
∵ 
∴ D為線段FP的中點，
∴ D為（c，
）??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
∴ 
，∴ a = 2b，
∴ 
?????????????????????????????????????????????? 5分
(2) a = 2，則b = 1，B（0，?1） 雙曲線的方程為
①
設M（x1，y1），N（x2，y2），C（0，m）
由
由已知
???????????????????????????? 7分
設
整理得：
對滿足
的k恒成立
∴ 
．
故存在y軸上的點C（0，4），使
為常數17．????????????????????? 12分
21．解：(1) 
???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分
切線方程為
與y = kx聯立得：
，令y = 0得：xB = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分
∴ 
??????????????????????????????????????????????????????? 4分
(2) 由
??????????????????????????????????????????????????? 5分
兩邊取倒數得：
∴ 
∴ 
是以
為首項，為公比的等比數列（
時）
或是各項為0的常數列（k = 3時），此時an = 1
時
??????????????????????????????? 7分
當k = 3時也符合上式
∴
????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
(3) 作差得 
其中
由于 1 < k < 3，∴ 
∴ 
當
?????????????????????????????????????????????????? 12分
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