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已知函數(shù)f(x)=ax²+bx+c(≤a≤1)的圖象過A(0，1)，且在該點處的切線與直線2x+y+1=0平行.?

(1)求b、c的值;?

(2)設f(x)在［1，3］上的最大值與最小值分別為M(a)、N(a),試求F(a)=M(a)-N(a)的表達式;?

(3)在(2)的條件下，當a在區(qū)間［，1］上變化時，證明3a²+2＞F(a).?

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2009年4月

一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分．

1．A    2．D    3．B    4．A    5．D    6．C    7．D    8．B    9．B    10．C

二、填空題：本大題共5小題，每題5分，共25分．

11．                                    12．                                  13．

14．                                  15．①②⑤

三、解答題：本題共6小題，共75分．

16．解：(1) ??????????????????????????????????????? 3分

∴

∵

∴ ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

∴

(2) ????????????????????????????????????????????????????? 8分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

∴ ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

∴ ?????????????? 13分

17．解：(1) 有兩道題答對的概率為，有一道題答對的概率為??????????????????????????? 2分

∴ ????????????????????????????????????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????????????????? 7分

?????????????????????????????? 9分

??????????????????????????????? 11分

∴ 的分布列為

35

40

45

50

P

???????????????????????????????????? 13分

18．(1) 證明：取CE中點M，則 FMDE

∵ ABDE       ∴ ABFM

∴ ABMF為平行四邊形

∴ AF∥BM

又AF平面BCE，BM平面BCE

∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 解：過C作l∥AB，則l∥DE     ∴ 平面ABC平面CDE = l

∵ AB⊥平面ACD      ∴ l⊥平面ACD

∴ ∠ACD即為所求二面角的平面角，為60?????????????????????????????????? 8分

(3) 解：設B在平面AFE內(nèi)的射影為，作MN⊥FE于N，作CG⊥EF于G．

∴ BE與平面AFE所成角為

∵ AF⊥CD，AF⊥DE   ∴ AF⊥平面CDE    ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF

∵ BM∥平面AEF       ∴

由△CGF∽△EDF，得    ∴

而     ∴

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

19．解：(1) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

由       由

∴ 上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????? 6分

∵ 上遞減     ∴ ??????????????? 9分

設    ∵    ∴上遞減

∴  即

∴ ???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20．解：(1)  B（0，? b），A（，0），F(xiàn)（c，0），P（c，）

∵       ∴ D為線段FP的中點，

∴ D為（c，）??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

∴ ，∴ a = 2b，

∴ ?????????????????????????????????????????????? 5分

(2)  a = 2，則b = 1，B（0，?1）     雙曲線的方程為   ①

設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），C（0，m）

由

由已知???????????????????????????? 7分

設

整理得：

對滿足的k恒成立

∴ ．

故存在y軸上的點C（0，4），使為常數(shù)17．????????????????????? 12分

21．解：(1) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

切線方程為與y = kx聯(lián)立得：

，令y = 0得：x_B = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分

∴ ??????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 由??????????????????????????????????????????????????? 5分

兩邊取倒數(shù)得：      ∴

∴ 是以為首項，為公比的等比數(shù)列（時）

或是各項為0的常數(shù)列（k = 3時），此時a_n = 1

時??????????????????????????????? 7分

當k = 3時也符合上式

∴????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

(3) 作差得

其中

由于 1 < k < 3，∴

∴

當?????????????????????????????????????????????????? 12分