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③函數在R上存在反函數, 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設函數f(x)的定義域、值域均為R,f(x)的反函數為f-1(x),且對任意實數x,均有f(x)+f-1(x)<
5
2
x
,定義數列an:a0=8,a1=10,an=f(an-1),n=1,2,….
(1)求證:an+1+an-1
5
2
an(n=1,2,…)

(2)設bn=an+1-2an,n=0,1,2,….求證:bn<(-6)(
1
2
)n
(n∈N*);
(3)是否存在常數A和B,同時滿足①當n=0及n=1時,有an=
A•4n+B
2n
成立;②當n=2,3,…時,有an
A•4n+B
2n
成立.如果存在滿足上述條件的實數A、B,求出A、B的值;如果不存在,證明你的結論.

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設函數y=f(x)由方程x|x|+y|y|=1確定,下列結論正確的是
 
(請將你認為正確的序號都填上)
(1)f(x)是R上的單調遞減函數;
(2)對于任意x∈R,f(x)+x>0恒成立;
(3)對于任意a∈R,關于x的方程f(x)=a都有解;
(4)f(x)存在反函數f-1(x),且對于任意x∈R,總有f(x)=f-1(x)成立.

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記函數f(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱以(x0,x0)為坐標的點為函數f(x)圖象上的不動點.
(1)若函數f(x)=
3x+a
x+b
圖象上有兩個關于原點對稱的不動點,求實數a,b應滿足的條件;
(2)設點P(x,y)到直線y=x的距離d=
|x-y|
2
.在(1)的條件下,若a=8,記函數f(x)圖象上的兩個不動點分別為A1,A2,P為函數f(x)圖象上的另一點,其縱坐標yP>3,求點P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時點P的坐標.
(3)下述命題“若定義在R上的奇函數f(x)圖象上存在有限個不動點,則不動點有奇數個”是否正確?若正確,請給予證明;若不正確,請舉一反例.若地方不夠,可答在試卷的反面.

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設函數f(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使f(x0)=x0成立,則稱以(x0,x0)為坐標的點為函數f(x)圖象上的不動點.
(1)若函數f(x)=
3x+ax+b
圖象上有兩個關于原點對稱的不動點,求a,b應滿足的條件;
(2)在(1)的條件下,若a=8,記函數f(x)圖象上的兩個不動點分別為A、B,點M為函數圖象上的另一點,且其縱坐標yM>3,求點M到直線AB距離的最小值及取得最小值時M點的坐標;
(3)下述命題“若定義在R上的奇函數f(x)圖象上存在有限個不動點,則不動點的有奇數個”是否正確?若正確,給出證明,并舉一例;若不正確,請舉一反例說明.

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設函數y=f(x)由方程x|x|+y|y|=1確定,下列結論正確的是 ________(請將你認為正確的序號都填上)
(1)f(x)是R上的單調遞減函數;
(2)對于任意x∈R,f(x)+x>0恒成立;
(3)對于任意a∈R,關于x的方程f(x)=a都有解;
(4)f(x)存在反函數f-1(x),且對于任意x∈R,總有f(x)=f-1(x)成立.

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2009年4月

一、選擇題:本大題共10小題,每題5分,共50分.

1.A    2.D    3.B    4.A    5.D    6.C    7.D    8.B    9.B    10.C

二、填空題:本大題共5小題,每題5分,共25分.

11.                                    12.                                  13.

14.                                  15.①②⑤

三、解答題:本題共6小題,共75分.

16.解:(1) ??????????????????????????????????????? 3分

??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分

(2) ????????????????????????????????????????????????????? 8分

????????????????????????????????????????????????????????????????? 9分

???????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分

?????????????? 13分

17.解:(1) 有兩道題答對的概率為,有一道題答對的概率為??????????????????????????? 2分

????????????????????????????????????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????????????????? 7分

?????????????????????????????? 9分

??????????????????????????????? 11分

的分布列為

35

40

45

50

P

???????????????????????????????????? 13分

18.(1) 證明:取CE中點M,則 FMDE

∵ ABDE       ∴ ABFM

∴ ABMF為平行四邊形

∴ AF∥BM

又AF平面BCE,BM平面BCE

∴ AF∥平面BCE??????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 解:過C作l∥AB,則l∥DE     ∴ 平面ABC平面CDE = l

∵ AB⊥平面ACD      ∴ l⊥平面ACD

∴ ∠ACD即為所求二面角的平面角,為60?????????????????????????????????? 8分

(3) 解:設B在平面AFE內的射影為,作MN⊥FE于N,作CG⊥EF于G.

∴ BE與平面AFE所成角為

∵ AF⊥CD,AF⊥DE   ∴ AF⊥平面CDE    ∴ AF⊥MN ∴ MN⊥平面AEF

∵ BM∥平面AEF       ∴

由△CGF∽△EDF,得    ∴

    ∴

???????????????????????????????????????????????????????????????? 13分

19.解:(1) ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

       由

上單調遞減,在上單調遞增????????????????????????? 5分

(2) ?????????????????????????????????????????? 6分

上遞減     ∴ ??????????????? 9分

    ∵    ∴上遞減

 即

???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分

20.解:(1)  B(0,? b),A(,0),F(c,0),P(c,

      ∴ D為線段FP的中點,

∴ D為(c,)??????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分

,∴ a = 2b,

?????????????????????????????????????????????? 5分

(2)  a = 2,則b = 1,B(0,?1)     雙曲線的方程為   ①

設M(x1,y1),N(x2,y2),C(0,m)

由已知???????????????????????????? 7分

整理得:

對滿足的k恒成立

故存在y軸上的點C(0,4),使為常數17.????????????????????? 12分

21.解:(1) ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 1分

切線方程為與y = kx聯立得:

,令y = 0得:xB = 2t????????????????????????????????????????????????? 3分

??????????????????????????????????????????????????????? 4分

(2) 由??????????????????????????????????????????????????? 5分

兩邊取倒數得:      ∴

是以為首項,為公比的等比數列(時)

或是各項為0的常數列(k = 3時),此時an = 1

??????????????????????????????? 7分

當k = 3時也符合上式

????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分

(3) 作差得

其中

由于 1 < k < 3,∴

?????????????????????????????????????????????????? 12分

 

 


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