Question

設函數y=f（x）由方程x|x|+y|y|=1確定，下列結論正確的是

 

（請將你認為正確的序號都填上）
（1）f（x）是R上的單調遞減函數；
（2）對于任意x∈R，f（x）+x＞0恒成立；
（3）對于任意a∈R，關于x的方程f（x）=a都有解；
（4）f（x）存在反函數f^-1（x），且對于任意x∈R，總有f（x）=f^-1（x）成立．

Answer 1

分析：先去掉絕對值，將方程轉化為分段函數，再作出分段函數的圖象，用數形結合法易得結論．

解答：解：去掉絕對值得：f(x)=

1-x2   0  ≤ x≤1 - x2-1 x＞1 1+x2 x＜0

作出其圖象為：如圖所示：
（1）在定義域上為遞減函數．正確．
（2）由雙曲線的漸近線可知：f（x）的圖象在y=-x的上方．正確．
（3）由f（x）的圖象向上向下無限延展，f（x）的圖象在y=a一定有交點，正確．
（4）由f（x）的圖象關于y=x對稱，正確．
故答案為：（1）（2）（3）（4）

點評：本題主要考查將方程問題轉化為分段函數，進而來研究分段函數的圖象和性質，這類問題往往與圓錐曲線有關，綜合性較強．