2009年普通高等學校招生全國統一考試西工大附中第四次適應性訓練
數 學 試 卷（文 科）
第一卷：選擇題
一．選擇題 （本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。）
1．若集合
，
，則
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．“
”是“直線
和直線
互相垂直”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．設｛an｝是等差數列，若
，
，則數列｛an｝前8項的和為（ ）
A．128 B．
4．函數
，若f(a)=2，則
的值為（ ）
A．3 B．0 C．
D．
5．某一批花生種子，如果每1粒發芽的概率為
，那么播下3粒種子恰有2粒發芽的概率是（ ）
A．
B． 
C． 
D． 
6．如圖，在長方體
中，AB=BC=2，AA1=1，則AC1
與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為（ ）
A．
B． 
C． 
D． 
7.將函數
的圖象F向右平移
個單位長度得到圖象F′，若F′的一條對稱軸是直線
則
的一個可能取值是
A.
B.
C.
D.
8. 函數
的定義域為
A.
B. 
C.
D.
9.從5名男生和5名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊方案數為
A.100 B.110 C.120 D.180
10.如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用
和
分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的焦距，用
和
分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：
①
②
③
④
其中正確式子的序號是
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
11．定義在
上的函數
滿足
（
），
，則
等于（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
12．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規則加入相關數據組成傳輸信息．設定原信息為
（
），傳輸信息為
，其中
，
運算規則為：
，
，
，
，例如原信息為111，則傳輸信息為01111．傳輸信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列接收信息一定有誤的是（ ）
A．11010 B．01100 C．10111 D．00011
二．填空題(4×4′=16分)：
13．若二項式
的展開式中含
的是第三項，則n的值是
14．已知實數x,y滿足
，則
的最小值為
15．已知直線x-y-1=0與拋物線y=ax2相切，則a= .
16.在長度為 a 的線段內任取兩點將其分成三段，則它們可以構成一個三角形的概率為
三．解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
17．已知函數
.
（I）當a=1時，求函數f (x)的單調遞增區間；
（II）當a<0且x
[0, π]時，函數f(x)的值域是[3, 4]，求a+b的值．
18．甲、乙兩條輪船駛向一個不能同時停泊兩艘輪船的碼頭，它們在一晝夜到達的時間是等可能的，如果甲船停泊的時間是一小時，乙船停泊的時間是兩小時，求它們中任何一艘船都不需要等侯碼頭空出的概率？
19．（本小題滿分12分）如圖所示，四棱錐
的底面
是邊長為1的菱形，
，E是CD的中點，PA
底面ABCD，
。
（I）證明：平面PBE平面PAB；
（II）求二面角A―BE―P和的大小。
 |
20．（本小題滿分12分）
已知函數
.
（Ⅰ）當
時，判斷函數
上的單調性；
（Ⅱ）當
時，求函數
上的最大值.
21．己知雙曲線C:
過點A(
)作直線
與雙曲線C交于P,Q兩點，若PQ的長等于雙曲線C的實軸長的3倍，求直線
的斜率.
22．（本題滿分
分）已知數列
滿足：
且
，
．
（Ⅰ）求
，
，
，
的值及數列的通項公式；
（Ⅱ）設
，求數列
的前
項和
；
西工大附中2009屆高考數學模擬試題（四）（文）
一、選擇題：本大題考查基本概念和基本運算．每小題5分，滿分60分．
1．A 2．C 3．C 4．B 5．C 6．D7.A 8.D 9.B 10.B
11.A 12.C
二、填空題：13、4 14．
15．
16.
三、解答題：
17.解：f(x)=a(cosx+1+sinx)+b=
(2分)
（１）當a=1時，f(x)= 
,
當
時，f(x)是增函數，所以f(x)的單調遞增區間為
（6分）
（２）由
得
，∴
∴當sin(x+
)=1時，f(x)取最小值3，即
，
當sin(x+)=
時，f(x)取最大值4，即b=4.
（10分）
將b=4 代入上式得
，故a+b=
（12分）
18．解：設甲、乙兩條船到達的時刻分別為x,y.則
若甲先到，則乙必須晚1小時以上到達，即
若乙先到達，則甲必須晚2小時以上到達，即
作圖，(略).利用面積比可算出概率為
.
19．
解：（I）如圖所示, 連結
由
是菱形且
知，
是等邊三角形. 因為E是CD的中點，所以
又
所以
又因為PA
平面ABCD，
平面ABCD，
所以
而
因此 
平面PAB.
又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.
（II）由（I）知，平面PAB, 
平面PAB, 所以
又
所以
是二面角
的平面角．
在
中, 
．
故二面角的大小為
20．解：
（1）
.
上是增函數.
（2）
（i）
當
的單調遞增區間是
（ii）
當
當
的單調遞增區間是
單調遞減區間是
. 所以，
的單調遞增區間是
單調遞減區間是
.
由上知，當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=2
又b>1，由2=b3－3b，解得b=2.
所以，
時取得最大值f（1）=2.
當
時取得最大值
.
上的最大值為
:
代入
得
設P(
),Q
整理，
此時，
，
，
，
． ……………2分
為奇數時，
，即數列
的奇數項成等差數列，
；
………………4分
，即數列
．
……………………6分
． ……… 7分
，
………………8分
……（1）
（2）
…………10分
．
．
……………………12分