2009屆高考數學第三輪復習精編模擬九
參考公式：
如果事件
互斥，那么
球的表面積公式
如果事件相互獨立，那么
其中
表示球的半徑
球的體積公式
如果事件
在一次試驗中發生的概率是
，那么
次獨立重復試驗中事件恰好發生
次的概率
其中表示球的半徑
第一部分 選擇題（共50分）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1、下列函數中既是奇函數，又是區間
上單調遞減的是 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（A）
； (B) 
；(C) 
；(D) 
.
2
下列不等式一定成立的是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（A）
；
(B) 
；
(C) 
；
(D) 
3、銳角三角形的內角
、
滿足
，則有 （ ）
（A）
；（B）
；
（C）
； D）
.
4、不等式
的解集為（ ）
A.
B.
C.
D.
5、方程
的正根個數為（ ）
A、0 B、
6、已知
，且
，則m的值為（ ）
A、2 B、1 C、0 D、不存在
7、一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是
，這個長方體對角線的長是 （ ）
8、在
內，使
成立的
的取值范圍是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
9、如果n是正偶數，則C
＋C
＋…＋C
＋C
＝（ ）。
A. 2
B. 2
C. 2
D. (n－1)2
10、已知長方形的四個項點A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一質點從AB的中點P0沿與AB夾角為
的方向射到BC上的點P1后，依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4（入射解等于反射角），設P4坐標為（
的取值范圍是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分 非選擇題（共100分）
二、填空題：本大題共5小題，其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．每小題5分，滿分20分．
11、設非零復數
滿足 
，則代數式 
的值是_____.
12、如果函數
的圖象關于直線
對稱，那么
13、 如右圖，E、F分別是正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是 .（要求：把可能的圖的序號都填上）
14、(坐標系與參數方程選做題)
以極坐標系中的點
為圓心，1為半徑的圓的方程是
；
15．(幾何證明選講選做題) 如圖，在⊙O中，AB為直徑，AD為弦，過B點的切線與AD的延長線交于點C，且AD=DC，則
sin∠ACO=_________
三．解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
如圖，函數
的圖象與
軸交于點
，且在該點處切線的斜率為
．
（1）求和
的值；
（2）已知點
，點
是該函數圖象上一點，點
是
的中點，當
，
時，求
的值．
17．（本小題滿分12分）
甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為
與
，且乙投球2次均未命中的概率為
.
（Ⅰ）求乙投球的命中率；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數記為
，求的分布列和數學期望.
18．（本小題滿分14分）
已知函數
.
（1）求函數
在區間
（
為自然對數的底）上的最大值和最小值；
（2）求證：在區間
上，函數的圖象在函數
的圖象的下方；
（3）求證：
≥
.
19．（本小題滿分14分）
一束光線從點
出發，經直線
上一點反射后，恰好穿過點
． （Ⅰ）求點
關于直線
的對稱點
的坐標；
（Ⅱ）求以、
為焦點且過點的橢圓
的方程；
（Ⅲ）設直線與橢圓的兩條準線分別交于、兩點，點
為線段
上的動點，求點 到的距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點的坐標．
20．（本小題滿分14分）
如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點。
（Ⅰ）求證：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；
（Ⅲ）求點C到平面A1BD的距離；
21．（本小題滿分14分）
已知二次函數
同時滿足：①不等式≤0的解集有且只有一個元素；②在定義域內存在
，使得不等式
成立,設數列｛
｝的前
項和
.
（1）求函數的表達式；
(2) 求數列｛｝的通項公式；
（3）設各項均不為0的數列｛
｝中，所有滿足
的整數
的個數稱為這個數列｛｝的變號數，令
（
）,求數列｛｝的變號數.
一．選擇題：DABDA CDCBC
解析：1:由條件“函數是奇函數”可排除(B)、(C), 又
在區間
上不是單調遞減, 可淘汰(A)，所以選(D).
2：取滿足題設的特殊數值 a=
,
，
0>
,檢驗不等式(B),(C),(D)均不成立,選 (A).
3：由已知得
4：把x=1代入不等式組驗算得x=1是不等式組的解，則排除(B)、(C), 再把x=-3代入不等式組驗算得x=-3是不等式組的解，則排除(B)，所以選(D).
5：本題學生很容易去分母得
，然后解方程，不易實現目標。
事實上，只要利用數形結合的思想，分別畫出
的圖象，容易發現在第一象限沒有交點。故選A。
6：當m=0時，顯然有
；若
時，由，得
，方程無解，m不存在。故選C。
7：由已知不妨設長
寬
高
，則對角線的長為
.故選
8：由
得sin（x－
）＞0，即2 kπ＜x－＜2kπ＋π，取k＝0即知選C.
9：用特值法：當n＝2時，代入得C
＋C
＝2,排除答案A、C；當n＝4時，代入得C
＋C
＋C
＝8,排除答案D。所以選B。
10：考慮由P0射到BC的中點上，這樣依次反射最終回到P0，此時容易求出tan
=，由題設條件知，1＜x4＜2，則tan≠，排除A、B、D，故選C.
二．填空題：11、1；12、-1；13、23； 14、
；15、
；
解析：
11： 將已知方程變形為 
，
解這個一元二次方程，得
顯然有
, 而
,于是
原式＝
＝
＝
12： 由條件得
，其中
.
是已知函數的對稱軸，
， 即 
，
于是 
故應填 
.
13：因為正方體是對稱的幾何體，所以四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.
四邊形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如圖2所示；
四邊形BFD1E在該正方體對角面的ABC1D1內，它在面ADD1A1上的射影顯然是一條線段，如圖3所示. 故應填23.
14.（略）
15.解：由條件不難得
為等腰直角三角形，設圓的半徑為1，則
，
，
，
sin∠ACO=
）=
三．解答題：
16.解：（1）將
，
代入函數
得
，因為
，所以
．
------------------2分
又因為
，
，，所以
，
因此
．
------------------5分
（2）因為點
，
是
的中點，
， 所以點
的坐標為
． ------------------7分
又因為點在的圖象上，
所以
．------------------9分
因為
，所以
，
從而得
或
．即
或
------------------12分
17.解：（Ⅰ）設“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B
由題意得 
， 解得
或
（舍去），
所以乙投球的命中率為
------------------3分
（Ⅱ）由題設和（Ⅰ）知
-------------4分
可能的取值為0，1，2，3，故 
， 
的分布列為
0
1
2
3
的數學期望
------------------12分
18.解：(1)∵
-------------------------------------------------1分
當
時，
∴函數
在
上為增函數-----------------------------------------3分
∴
，
--------------------------4分
（２）證明：令
則
∵當
時
，∴函數
在區間
上為減函數
∴
即在上，
∴在區間上，函數的圖象在函數
的圖象的下方-----8分
（3）證明：∵
當
時，不等式顯然成立
當
時
∵
＝
-----①
-------------②-----10分
①+②得
≥
（當且僅當
時“＝”成立）---------------13分
∴當時，不等式成立
綜上所述得
≥
.--------------------------14分
19.解：（Ⅰ）設
的坐標為
，則
且
．
解得
， 因此，點 的坐標為
．
（Ⅱ）
，根據橢圓定義，
得
，
，
． ∴所求橢圓方程為
．
（Ⅲ）
，橢圓的準線方程為
．
設點
的坐標為
,
表示點到
的距離，
表示點到橢圓的右準線的距離．
則
，
．
， 令
，則
，
當
，
， 
，
．
∴ 
在時取得最小值．
因此，
最小值＝
，此時點的坐標為
-----------------14分
20.解：（Ⅰ）取
中點
，連結
．
為正三角形，
．
在正三棱柱
中，平面
平面
， 
平面．
取
中點
，以為原點，
，
，
的方向為
軸的正方向建立空間直角坐標系，則
，
，
，
， 
，
，
，
．
，
，
，
．
平面
．--------------------6分
（Ⅱ）設平面
的法向量為
．
，
． 
，
，
令
得
為平面的一個法向量．--------------------9分
由（Ⅰ）知
平面， 
為平面的法向量．
，
．
二面角
的大小為
． --------------------11分
（Ⅲ）
中，
，
．
在正三棱柱中，
到平面的距離為
．設點
到平面的距離為
．
由
得
， 
．
點到平面的距離為
--------------------14分
21.解（１）∵不等式≤0的解集有且只有一個元素
∴
解得
或
--------------------2分
當時函數
在
遞增，不滿足條件②--------------------3分
當時函數
在（０，２）上遞減，滿足條件②--------------------4分
綜上得，即 --------------------5分
（２）由（１）知
, 當時，
當≥２時
＝
＝
--------------------7分
∴
--------------------8分
（３）由題設可得
--------------------9分
∵
，
，
∴
，
都滿足
--------------------11分
∵當≥３時，
即當≥３時，數列｛
｝遞增，
∵
，由
，可知
滿足----------------13分
∴數列｛｝的變號數為３. ------------------14分
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