江蘇省蘇北四市2009屆高三第三次調研考試
數學試題 2009．3.31
注意事項：
1．本試卷分填空題和解答題兩部分，共160分．考試用時120分鐘．
2．答題前，考生務必將自己的學校、姓名、考試號寫在答題紙的密封線內．答題時，填空題和解答題的答案寫在答題紙上對應題目的空格內，答案寫在試卷上無效．本卷考試結束后，上交答題紙．
3．一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．
4．文字書寫題統一使用0.5毫米及0.5毫米以上簽字筆．
5．作圖題可使用2B鉛筆，不需要用簽字筆描摹．
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分. 不需寫出解答過程．請把答案直接填寫在答案卷上.
1、已知集合
若
，則實數m的值為
2、若復數
為虛數單位）為純虛數，則實數a的值為
3、一個幾何體的主視圖與左視圖都是邊長為2的正方形，其俯視圖是直徑為的圓，則該幾何體的表面積為
4、如圖，給出一個算法的偽代碼，
Read x
If 
則
5、已知直線
的充要條件是a=
6、高三（1）班共有56人，學號依次為1，2，3，┅，56，現用系統抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知學號為6，34，48的同學在樣本中，那么還有一個同學的學號應為
7、在一次招聘口試中，每位考生都要在5道備選試題中隨機抽出3道題回答，答對其中2道題即為及格，若一位考生只會答5道題中的3道題，則這位考生能夠及格的概率為
8、設方程
9、已知函數
的值為
10、已知平面區域
，若向區域U內隨機投一點P，則點P落入區域A的概率為
11、已知拋物線
到其焦點的距離為5，雙曲線
的左頂點為A，若雙曲線一條漸近線與直線AM垂直，則實數a=
12、已知平面向量
的夾角為
，
13、函數
上的最大值為
14、如圖，將平面直角坐標系的格點（橫、縱坐標均為整數的點）按如下規則表上數字標簽：原點處標0，點（1，0）處標1，點（1，-1）處標2，點（0，-1）處標3，點（-1，-1）處標4，點（-1，0）標5，點（-1，1）處標6，點（0，1）處標7，以此類推，則標簽
的格點的坐標為
二、解答題：（本大題共6道題，計90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（本題滿分14分）
在斜三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c且
.
(1)求角A；
(2)若
，求角C的取值范圍。
16．（本題滿分14分）
在在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD為菱形，OA⊥平面ABCD，E為OA的中點，F為BC的中點，求證：
（1）平面BDO⊥平面ACO；
（2）EF//平面OCD.
17、（本題滿分14分）
已知圓O的方程為
且與圓O相切。
（1）求直線
的方程；
（2）設圓O與x軸交與P,Q兩點，M是圓O上異于P,Q的任意一點，過點A且與x軸垂直的直線為
，直線PM交直線于點
，直線QM交直線于點
。求證：以
為直徑的圓C總過定點，并求出定點坐標。
18、（本題滿分16分）
有一座大橋既是交通擁擠地段，又是事故多發地段，為了保證安全，交通部門規定。大橋上的車距d(m)與車速v(km/h)和車長l(m)的關系滿足：
（k為正的常數），假定車身長為
（1）寫出車距d關于車速v的函數關系式;
（2）應規定怎樣的車速，才能使大橋上每小時通過的車輛最多？
19、（本題滿分16分）
已知函數
（1）試求b,c所滿足的關系式；
（2）若b=0，方程
有唯一解，求a的取值范圍；
（3）若b=1，集合
，試求集合A.
20、（本題滿分16分）
已知數列a,b,c為各項都是正數的等差數列，公差為d（d>0)，在a,b之間和b,c之間共插入m個實數后，所得到的m+3個數所組成的數列
是等比數列，其公比為q.
(1)若a=1,m=1,求公差d；
(2)若在a,b之間和b,c之間所插入數的個數均為奇數，求所插入的m個數的乘積（用a,c,m表示）
(3)求證：q是無理數。
1．1 2．
3．
4．－8 5．
6．20
7．
8．1 9．0 10．
11．
12．
13．
14．（1005，1004）
15.⑴ ∵ 
，……………………………… 2分
又∵ 
，∴
而
為斜三角形，
∵
，∴
. ……………………………………………………………… 4分
∵
，∴
. …………………………………………………… 6分
⑵∵
，∴
…12分
即
，∵
，∴
.…………………………………14分
16．⑴∵
平面
，
平面，所以
，…2分
∵是菱形，∴
，又
，
∴
平面
，……………………………………………………4分
又∵平面
，∴平面
平面
． ……………………………………6分
⑵取
中點
，連接
,則
，
∵是菱形，∴
，
∵
為
的中點，∴
，………………10分
∴
．
∴四邊形
是平行四邊形，∴
，………………12分
又∵
平面
，
平面．
∴
平面． ………………………………………………………………14分
17.（1）∵直線
過點
，且與圓
：
相切，
設直線
的方程為
，即
， …………………………2分
則圓心
到直線的距離為
，解得
，
∴直線的方程為
，即．
…… …………………4分
（2）對于圓方程
,令
，得
,即
．又直線
過點
且與
軸垂直，∴直線方程為
，設
，則直線
方程為
解方程組
,得
同理可得,
……………… 10分
∴以
為直徑的圓
的方程為
，
又
，∴整理得
，……………………… 12分
若圓經過定點，只需令
，從而有
，解得
，
∴圓總經過定點坐標為
．
…………………………………………… 14分
18．⑴因為當
時，
，所以
，
……4分
∴
………………………………………………………6分
⑵設每小時通過的車輛為
，則
．即
……12分
∵
，…………………………………………………14分
∴
，當且僅當
，即
時，
取最大值
．
答：當
時，大橋每小時通過的車輛最多．………16分
19.（1）由
，得
∴b、c所滿足的關系式為
．……………………2分
（2）由
，，可得
．
方程
，即
，可化為
，
令
，則由題意可得，
在
上有唯一解，…4分
令
，由
，可得
，
當
時，由
，可知
是增函數；
當
時，由
，可知是減函數．故當時，取極大值
．………6分
由函數的圖象可知，當
或
時，方程有且僅有一個正實數解．
故所求
的取值范圍是
或
． ……………………………………………8分
（3）由
，，可得
．由
且
且
且．…10分
當
時，
；當
時，
；
當
時（
），
；當
時，
且
；
當
時，
∪
．
………………………16分
注：可直接通過研究函數
與
的圖象來解決問題．
20．（1）由
，且等差數列
的公差為
，可知
，
若插入的一個數在
之間，則
，
，
消去
可得
，其正根為
．
………………………………2分
若插入的一個數在
之間，則
，，
消去可得
，此方程無正根．故所求公差．………4分
（2）設在之間插入
個數，在之間插入
個數，則
，在等比數列
中，
∵
，
…，
，
∴
…
…
………………8分
又∵
，
，
都為奇數，∴
可以為正數，也可以為負數．
①若為正數，則
…
，所插入
個數的積為
；
②若為負數，
…
中共有
個負數，
當
是奇數，即
N*)時，所插入個數的積為；
當是偶數，即
N*）時，所插入個數的積為
．
綜上所述，當N*)時，所插入個數的積為；
當N*）時，所插入個數的積為
．…………10分
注：可先將…用和表示，然后再利用條件消去進行求解．
（3）∵在等比數列，由
，可得
，同理可得
，
∴
，即
，
…………………………12分
假設是有理數，若為整數，∵是正數，且
，∴
，
在
中，∵
是的倍數，故1也是的倍數，矛盾．
若不是整數，可設
（其中
為互素的整數，
），
則有
，即
，
∵
，可得
，∴
是x的倍數，即
是x的倍數，矛盾．
∴ 是無理數．……………………………………16分
附加題部分
21B．設
為曲線
上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點
，
則有
，…………………………………………………………4分
即
∴
…………………………………8分
又因為點P在曲線上，所以
，
故有
, 即所得曲線方程
.……………………………………… 10分
的極坐標方程化為直角坐標方程為
，
即
，它表示以
為圓心，2為半徑的圓， …………………4分
直線方程
的普通方程為
，
………………6分
圓
的圓心到直線的距離
，………………………………………………………8分
故所求弦長為
．
………………………………………………10分
21D．由柯西不等式可得 
．…10分
22．以點為坐標原點, 以
分別為
軸,
建立如圖空間直角坐標系, 不妨設 
則
,∴ 
,
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