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（本題滿分14分）

已知實(shí)數(shù)，曲線與直線的交點(diǎn)為(異于原點(diǎn))，在曲線 上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸，交曲線于點(diǎn)，接著過(guò)點(diǎn)作平行于軸，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于軸，交曲線于點(diǎn)，如此下去，可以得到點(diǎn)，，…,,… .  設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，.

（Ⅰ）試用表示，并證明；   

（Ⅱ）試證明，且（）；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求證：  （）.

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（本題滿分14分）

已知曲線方程為，過(guò)原點(diǎn)O作曲線的切線

（1）求的方程；

（2）求曲線，及軸圍成的圖形面積S；

（3）試比較與的大小，并說(shuō)明理由。

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1．1   2．    3．    4．－8    5．   6．20         7．

8．1   9．0     10．    11．   12．     13．   14．（1005，1004）

15.⑴ ∵ ，……………………………… 2分

又∵ ，∴ 而為斜三角形，

∵，∴.   ……………………………………………………………… 4分

∵，∴ .  …………………………………………………… 6分

⑵∵，∴ …12分

即，∵，∴.…………………………………14分

16．⑴∵平面，平面，所以，…2分

∵是菱形，∴，又，

∴平面，……………………………………………………4分

又∵平面，∴平面平面．  ……………………………………6分

⑵取中點(diǎn)，連接,則，

∵是菱形，∴，

∵為的中點(diǎn)，∴，………………10分

∴．

∴四邊形是平行四邊形，∴，………………12分

又∵平面，平面．

∴平面．     ………………………………………………………………14分

17.（1）∵直線過(guò)點(diǎn)，且與圓：相切，

設(shè)直線的方程為，即，　…………………………2分

則圓心到直線的距離為，解得，

∴直線的方程為，即． …… …………………4分

（2）對(duì)于圓方程,令，得,即．又直線過(guò)點(diǎn)且與軸垂直，∴直線方程為，設(shè)，則直線方程為

解方程組,得同理可得,……………… 10分

∴以為直徑的圓的方程為，

又，∴整理得，……………………… 12分

若圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，只需令，從而有，解得，

∴圓總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為． …………………………………………… 14分

18．⑴因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以， ……4分

∴   ………………………………………………………6分

⑵設(shè)每小時(shí)通過(guò)的車輛為，則．即 ……12分

∵，…………………………………………………14分

∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最大值．

答：當(dāng)時(shí)，大橋每小時(shí)通過(guò)的車輛最多．………16分

19.（1）由，得

∴b、c所滿足的關(guān)系式為．……………………2分

（2）由，，可得．

方程，即，可化為，

令，則由題意可得，在上有唯一解，…4分

令，由，可得，

當(dāng)時(shí)，由，可知是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，由，可知是減函數(shù)．故當(dāng)時(shí)，取極大值．………6分

由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)或時(shí)，方程有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)解．

故所求的取值范圍是或．  ……………………………………………8分

（3）由，，可得．由且且且．…10分

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)（），；當(dāng)時(shí)，且；

當(dāng)時(shí)，∪． ………………………16分

注：可直接通過(guò)研究函數(shù)與的圖象來(lái)解決問(wèn)題．

20．（1）由，且等差數(shù)列的公差為，可知，

若插入的一個(gè)數(shù)在之間，則，，

消去可得，其正根為． ………………………………2分

若插入的一個(gè)數(shù)在之間，則，，

消去可得，此方程無(wú)正根．故所求公差．………4分

（2）設(shè)在之間插入個(gè)數(shù)，在之間插入個(gè)數(shù)，則，在等比數(shù)列中，

∵，…，，

∴……   ………………8分

又∵，，都為奇數(shù)，∴可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)．

①若為正數(shù)，則…，所插入個(gè)數(shù)的積為；

②若為負(fù)數(shù)，…中共有個(gè)負(fù)數(shù)，

當(dāng)是奇數(shù)，即N^*)時(shí)，所插入個(gè)數(shù)的積為；

當(dāng)是偶數(shù)，即N^*）時(shí)，所插入個(gè)數(shù)的積為．

綜上所述，當(dāng)N^*)時(shí)，所插入個(gè)數(shù)的積為；

當(dāng)N^*）時(shí)，所插入個(gè)數(shù)的積為．…………10分

注：可先將…用和表示，然后再利用條件消去進(jìn)行求解．

（3）∵在等比數(shù)列，由，可得，同理可得，

∴，即， …………………………12分

假設(shè)是有理數(shù)，若為整數(shù)，∵是正數(shù)，且，∴，

在中，∵是的倍數(shù)，故1也是的倍數(shù)，矛盾．

若不是整數(shù)，可設(shè)（其中為互素的整數(shù)，），

則有，即，

∵，可得，∴是x的倍數(shù)，即是x的倍數(shù)，矛盾．

∴ 是無(wú)理數(shù)．……………………………………16分

附加題部分

21B．設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，在矩陣A變換下得到另一點(diǎn)，

則有，…………………………………………………………4分

即      ∴…………………………………8分

又因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線上，所以，

故有, 即所得曲線方程.……………………………………… 10分

21C．將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為，

即，它表示以為圓心，2為半徑的圓，      …………………4分

直線方程的普通方程為，                       ………………6分

圓的圓心到直線的距離，………………………………………………………8分

故所求弦長(zhǎng)為．   ………………………………………………10分

21D．由柯西不等式可得

 ．…10分

22．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn), 以分別為軸,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系, 不妨設(shè) 則

,∴ ,