Question

（本題滿分14分）

已知實數，曲線與直線的交點為(異于原點)，在曲線 上取一點，過點作平行于軸，交直線于點，過點作平行于軸，交曲線于點，接著過點作平行于軸，交直線于點，過點作平行于軸，交曲線于點，如此下去，可以得到點，，…,,… .  設點的坐標為，.

（Ⅰ）試用表示，并證明；   

（Ⅱ）試證明，且（）；

（Ⅲ）當時，求證：  （）.

Answer 1

解析：（Ⅰ）點的坐標滿足方程組，所以, ……………1分

解得： ，故，   ……………………… 2分

因為，所以故，故. ………3分

（Ⅱ）由已知，，，

即：，                      …………………………… 4分

所以

因為，所以.            ……………………………… 5分

下面用數學歸納法證明（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

1當時，成立；

2假設當時，有成立，（）

則當時，    ………………………………… 6分

         所以       …………………………… 7分

         所以當時命題也成立，

綜上所述由1，2知（）成立.………………………………… 8分

 

(注：此問答題如：只是由圖可知，而不作嚴格證明，得分一律不超過2分)

（Ⅲ）當時，， ()，…………9分

      所以.………………………………10分

      因為，所以當時，由（Ⅱ）知，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m        

所以有.……………………………………………………………12分

      又因為，

      所以，，…………………13分

故有：

 ….14分