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（本題滿分14分）

已知實數，曲線與直線的交點為(異于原點)，在曲線 上取一點，過點作平行于軸，交直線于點，過點作平行于軸，交曲線于點，接著過點作平行于軸，交直線于點，過點作平行于軸，交曲線于點，如此下去，可以得到點，，…,,… .  設點的坐標為，.

（Ⅰ）試用表示，并證明；   

（Ⅱ）試證明，且（）；

（Ⅲ）當時，求證：  （）.

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（本題滿分14分）

已知曲線方程為，過原點O作曲線的切線

（1）求的方程；

（2）求曲線，及軸圍成的圖形面積S；

（3）試比較與的大小，并說明理由。

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1．1   2．    3．    4．－8    5．   6．20         7．

8．1   9．0     10．    11．   12．     13．   14．（1005，1004）

15.⑴ ∵ ，……………………………… 2分

又∵ ，∴ 而為斜三角形，

∵，∴.   ……………………………………………………………… 4分

∵，∴ .  …………………………………………………… 6分

⑵∵，∴ …12分

即，∵，∴.…………………………………14分

16．⑴∵平面，平面，所以，…2分

∵是菱形，∴，又，

∴平面，……………………………………………………4分

又∵平面，∴平面平面．  ……………………………………6分

⑵取中點，連接,則，

∵是菱形，∴，

∵為的中點，∴，………………10分

∴．

∴四邊形是平行四邊形，∴，………………12分

又∵平面，平面．

∴平面．     ………………………………………………………………14分

17.（1）∵直線過點，且與圓：相切，

設直線的方程為，即，　…………………………2分

則圓心到直線的距離為，解得，

∴直線的方程為，即． …… …………………4分

（2）對于圓方程,令，得,即．又直線過點且與軸垂直，∴直線方程為，設，則直線方程為

解方程組,得同理可得,……………… 10分

∴以為直徑的圓的方程為，

又，∴整理得，……………………… 12分

若圓經過定點，只需令，從而有，解得，

∴圓總經過定點坐標為． …………………………………………… 14分

18．⑴因為當時，，所以， ……4分

∴   ………………………………………………………6分

⑵設每小時通過的車輛為，則．即 ……12分

∵，…………………………………………………14分

∴，當且僅當，即時，取最大值．

答：當時，大橋每小時通過的車輛最多．………16分

19.（1）由，得

∴b、c所滿足的關系式為．……………………2分

（2）由，，可得．

方程，即，可化為，

令，則由題意可得，在上有唯一解，…4分

令，由，可得，

當時，由，可知是增函數；

當時，由，可知是減函數．故當時，取極大值．………6分

由函數的圖象可知，當或時，方程有且僅有一個正實數解．

故所求的取值范圍是或．  ……………………………………………8分

（3）由，，可得．由且且且．…10分

當時， ；當時，；

當時（），；當時，且；

當時，∪． ………………………16分

注：可直接通過研究函數與的圖象來解決問題．

20．（1）由，且等差數列的公差為，可知，

若插入的一個數在之間，則，，

消去可得，其正根為． ………………………………2分

若插入的一個數在之間，則，，

消去可得，此方程無正根．故所求公差．………4分

（2）設在之間插入個數，在之間插入個數，則，在等比數列中，

∵，…，，

∴……   ………………8分

又∵，，都為奇數，∴可以為正數，也可以為負數．

①若為正數，則…，所插入個數的積為；

②若為負數，…中共有個負數，

當是奇數，即N^*)時，所插入個數的積為；

當是偶數，即N^*）時，所插入個數的積為．

綜上所述，當N^*)時，所插入個數的積為；

當N^*）時，所插入個數的積為．…………10分

注：可先將…用和表示，然后再利用條件消去進行求解．

（3）∵在等比數列，由，可得，同理可得，

∴，即， …………………………12分

假設是有理數，若為整數，∵是正數，且，∴，

在中，∵是的倍數，故1也是的倍數，矛盾．

若不是整數，可設（其中為互素的整數，），

則有，即，

∵，可得，∴是x的倍數，即是x的倍數，矛盾．

∴ 是無理數．……………………………………16分

附加題部分

21B．設為曲線上的任意一點，在矩陣A變換下得到另一點，

則有，…………………………………………………………4分

即      ∴…………………………………8分

又因為點P在曲線上，所以，

故有, 即所得曲線方程.……………………………………… 10分

21C．將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程為，

即，它表示以為圓心，2為半徑的圓，      …………………4分

直線方程的普通方程為，                       ………………6分

圓的圓心到直線的距離，………………………………………………………8分

故所求弦長為．   ………………………………………………10分

21D．由柯西不等式可得

 ．…10分

22．以點為坐標原點, 以分別為軸,

建立如圖空間直角坐標系, 不妨設 則

,∴ ,