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2009年高考數學難點突破專題輔導十六

難點16  三角函數式的化簡與求值

三角函數式的化簡和求值是高考考查的重點內容之一.通過本節的學習使考生掌握化簡和求值問題的解題規律和途徑，特別是要掌握化簡和求值的一些常規技巧，以優化我們的解題效果，做到事半功倍.

●難點磁場

(★★★★★)已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________.

●案例探究

［例1］不查表求sin²20°+cos²80°+cos20°cos80°的值.

命題意圖：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對計算能力的要求較高.屬于★★★★級題目.

知識依托：熟知三角公式并能靈活應用.

錯解分析：公式不熟，計算易出錯.

技巧與方法：解法一利用三角公式進行等價變形；解法二轉化為函數問題，使解法更簡單更精妙，需認真體會.

解法一：sin²20°+cos²80°+sin²20°cos80°

= (1－cos40°)+ (1+cos160°)+ sin20°cos80°

=1－cos40°+cos160°+sin20°cos(60°+20°)

=1－cos40°+ (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)

=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin²20°

=1－cos40°－(1－cos40°)=

解法二：設x=sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°

y=cos²20°+sin²80°－cos20°sin80°，則

x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°

=－2sin100°sin60°+sin100°=0

∴x=y=，即x=sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°=.

［例2］設關于x的函數y=2cos²x－2acosx－(2a+1)的最小值為f(a)，試確定滿足f(a)=的a值，并對此時的a值求y的最大值.

命題意圖：本題主要考查最值問題、三角函數的有界性、計算能力以及較強的邏輯思維能力.屬★★★★★級題目

知識依托：二次函數在給定區間上的最值問題.

錯解分析：考生不易考查三角函數的有界性，對區間的分類易出錯.

技巧與方法：利用等價轉化把問題化歸為二次函數問題，還要用到配方法、數形結合、分類講座等.

解：由y=2(cosx－)²－及cosx∈［－1，1］得：

f(a)

∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞

故－－2a－1=，解得：a=－1，此時，

y=2(cosx+)²+，當cosx=1時，即x=2kπ，k∈Z，y_max=5.

［例3］已知函數f(x)=2cosxsin(x+)－sin²x+sinxcosx

(1)求函數f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的最小值及取得最小值時相應的x的值；

(3)若當x∈［，］時，f(x)的反函數為f^－1(x)，求f^-－1(1)的值.

命題意圖：本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數等知識，還考查計算變形能力，綜合運用知識的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：熟知三角函數公式以及三角函數的性質、反函數等知識.

錯解分析：在求f^-－1(1)的值時易走彎路.

技巧與方法：等價轉化，逆向思維.

解：(1)f(x)=2cosxsin(x+)－sin²x+sinxcosx

=2cosx(sinxcos+cosxsin)－sin²x+sinxcosx

=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)

∴f(x)的最小正周期T=π

(2)當2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)時，f(x)取得最小值－2.

(3)令2sin(2x+)=1，又x∈［］,

∴2x+∈［,］,∴2x+=，則

x=，故f^-－1(1)= .

●錦囊妙計

本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：

1.求值問題的基本類型：1°給角求值，2°給值求值，3°給式求值，4°求函數式的最值或值域，5°化簡求值.

2.技巧與方法：

1°要尋求角與角關系的特殊性，化非特角為特殊角，熟練準確地應用公式.

2°注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規技巧的運用.

3°對于條件求值問題，要認真尋找條件和結論的關系，尋找解題的突破口，很難入手的問題，可利用分析法.

4°求最值問題，常用配方法、換元法來解決.

●殲滅難點訓練

一、選擇題

試題詳情

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二、填空題

試題詳情

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三、解答題

試題詳情

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難點磁場

解法一：∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜.π＜α+β＜,

∴sin(α－β)=

∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］

=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)

解法二：∵sin(α－β)=,cos(α+β)=－,

∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－

sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－

∴sin2α=

殲滅難點訓練

一、1.解析：∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0.

tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),則∈(－,0),又tan(α+β)=,

整理得2tan²=0.解得tan=－2.

答案：B

2.解析：∵sinα=,α∈(,π),∴cosα=－

則tanα=－,又tan(π－β)=可得tanβ=－,

答案：

3.解析：α∈(),α－∈(0, ),又cos(α－)=.

答案：

三、4.答案：2

（k∈Z）, （k∈Z）

∴當即（k∈Z）時,的最小值為－1.

7.解：以OA為x軸.O為原點，建立平面直角坐標系，并設P的坐標為(cosθ,sinθ)，則

｜PS｜=sinθ.直線OB的方程為y=x，直線PQ的方程為y=sinθ.聯立解之得Q(sinθ；sinθ)，所以｜PQ｜=cosθ－sinθ.

于是S_PQRS=sinθ(cosθ－sinθ)=(sinθcosθ－sin²θ)=(sin2θ－)=(sin2θ+cos2θ－)= sin(2θ+)－.

∵0＜θ＜,∴＜2θ+＜π.∴＜sin(2θ+)≤1.

∴sin(2θ+)=1時，PQRS面積最大，且最大面積是，此時，θ=，點P為的中點，P().

8.解：設u=sinα+cosβ.則u²+()²=(sinα+cosβ)²+(cosα+sinβ)²=2+2sin(α+β)≤4.∴u²≤1,－1≤u≤1.即D=［－1,1］,設t=,∵－1≤x≤1,∴1≤t≤.x=.