云南省2009屆高三數學月考模擬分類匯編---立體幾何
珠海市第四中學 邱金龍
一、選擇題
1、（2009昆明市期末）三棱錐S―ABC中，SA⊥底面ABC，SA=4，AB=3，D為AB的中點∠ABC=90°，則點D到面SBC的距離等于 （ ）
A．
B
C．
D．
C
2、（2009昆明一中第三次模擬）如圖，正四棱柱
中，
,則異面直線
與
所成角的余弦值為（ ）
A．
B．
C．
D.
D
3、（2009牟定一中期中）設
、
是兩條不同的直線，
、
是兩個不同的平面.下列四個命題中，正確的是 ( )
A．
,
,則
B．
,則
C．,
,則
D．，
，則
D
4、（2009南華一中12月月考）空間四條直線a，b，c，d，滿足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，則必有 ( )
A．a⊥c B．b⊥d C．b∥d 或a∥c D．b∥d 且a∥c
C
5、（2009玉溪市民族中學第四次月考）若球O的半徑為1，點A、B、C在球面上，它們任意兩點的球面距離都等于
則過A、B、C的小圓面積與球表面積之比為 -------（ ） A．
B．
C．
D．
C
二、解答題
1、（2009昆明市期末）如圖，在正三棱柱ABC―A1B
，D為B
（Ⅰ）證明：B
（Ⅱ）求二面角B―AC―B1的大小。
方法一：
（Ⅰ）證明：在Rt△BB1D和Rt△B
由 
得
△BB1D∽△B
又 ∠CB1D+∠B1CC1=90°
故 ∠CB1D+∠B1DB=90°
故 B
又 正三棱柱ABC―A1B
由 A1D⊥平面B
得 A1D⊥B
又A1D∩B1D=D，
所以 B
（Ⅱ）解：設E為AC的中點，連接BE、B1E。
在正三棱柱ABC―A1B
即 ∠BEB1為二面角B―AC―B1的平面角?????????????????????????????????9分
又 
故 
所以 二面角的大小為
??????????????????????????????????????12分
方法二：
（Ⅰ）證明：設BC的中點為O，如圖建立空間直角坐標系O―xyz
依題意有
則
由 
故 
又 
所以 
故 
又 BD∩BA1=B
所以 B
（Ⅱ）依題意有
設
⊥平面ACB1，
⊥平面ABC。
求得 
故 
所以 二面角的大小為??????????????????????????????????????12分
2、（2009昆明一中第三次模擬）如圖1，在直角梯形
中，
，
，
為
的中點，
分別為
的中點，將
沿
折起，使點
在平面
上的射影為點，如圖2.
（Ⅰ）求證：
平面
（Ⅱ）求二面角
的余弦值
解：由題意， 折起后
平面，四邊形是邊長為2的正方形，
(Ⅰ)
分別是
的中點，
.
又
平面
平面
平面
(Ⅱ)建立空間直角坐標系
，如圖，
則
，
設平面
的法向量為
，
則
， 得
設平面的法向量為
則
得
，
.
所以，二面角的余弦值為
.
3、（2009牟定一中期中）如圖，正三棱柱ABC―A1B
（I）求證：AD⊥B1D；
（II）求證：A
（III）求點A1 到平面AB1D的距離
解（1）證明：∵ABC―A1B
∴BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AD，
在正△ABC中，∵D是BC的中點，
∴AD⊥BD，………………2分
AD⊥B1D………………4分
（2）解：連接DE.
∵AA1=AB ∴四邊形A1ABB1是正方形，
∴E是A1B的中點，
又D是BC的中點，∴DE∥A
∵DE
平面AB1D，A
平面AB1D，
∴A
（3）由
……………………12分
4、（2009南華一中12月月考）正四棱錐S－ABCD中，O為底面中心，E為SA的中點，AB＝1，直線AD到平面SBC的距離等于
．
（1）求斜高SM的長；
（2）求平面EBC與側面SAD所成銳二面角的�。�
解法一：（1）連OM，作OH⊥SM于H．
∵SM為斜高，∴M為BC的中點，∴BC⊥OM．
∵BC⊥SM，∴BC⊥平面SMO．
又OH⊥SM，∴OH⊥平面SBC． 2分
由題意，得
．
設SM＝x，
則
，解之
，即
．…………………6分
（2）設面EBC∩SD＝F，取AD中點N，連SN，設SN∩EF＝Q．
∵AD∥BC，∴AD∥面BEFC．而面SAD∩面BEFC＝EF，∴AD∥EF．
又AD⊥SN，AD⊥NM，AD⊥面SMN．
從而EF⊥面SMN，∴EF⊥QS，且EF⊥QM．
∴∠SQM為所求二面角的平面角，記為α．……… 7分
由平幾知識，得
．
∴
，∴
．
∴
，即
所求二面角為
． ……… 12分
，
，
，
． ……………1分
，
，
，
．
，
．
＝（0，1，0），由題意，得
．解得
．
． …………………………………………6分
，
………8分
，
，得
解得
∴
．…10分
，∴
．……… 12分
的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為
，
，
平面
，
，
，
，
．
平面
；
的大小．
，
，
．
點坐標為
．
，
．
，
，
，
，又
，
平面
，又
平面
平面
，取
為平面
，則
．
，如圖，可取
，則
，
，
．
如圖，棱錐
的底面
⊥平面
，
為棱
上一點，且
.
的余弦值；
到平面
的距離.
取三等分點
，使
，則
，
⊥平面
作
于
，連結
，
，
為所求二面角
中，
，
，
所以，二面角
，所以點
到平面
于
，連結
，則
，
⊥平面
，過點
于
，
，
為所求距離，
所以，求點
，
. 
，則
，
，∴
，
，得到平面QAC的一個法向量為
為平面ABCD的法向量.
，
，則
，
，∴令
，得到平面QAC的一個為法向量為
，
