2009屆高三數學第二輪專題復習系列(5)――平面向量
一、大綱解讀
平面向量解讀
⑴理解向量的概念、掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念.
⑵掌握向量的加法和減法
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑶掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.
⑷了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算.
（5）掌握平面向量數理積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件.
（6）掌握平面兩點間的距離公式以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用.掌握平移公式.
二、高考預測
平面向量作為高考新增知識點，在近幾年高考試題中的分值正逐年增加，約占9.8%左右.對本章內容的考查主要分為以下兩類：
（1）以選擇、填空題型考查本章的基本概念和性質，重點考查向量的概念，幾何表示、向量的加減法、實數與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標運算以及平面向量的數量積及其幾何意義等.此類題一般難度不大，用以解決有關長度、夾角、垂直、判斷多邊形形狀等問題.
（2）平面向量綜合問題是“新熱點”題型，其形式為與直線、圓錐曲線、三角函數、解析幾何等知識綜合，解決角度、垂直、平行以及圖象的平移等問題.
三、重點剖析
重點1.
例2：(數量積運算求夾角)已知| a |=1,| b |=1，a與b的夾角為60°, x
=
分析：要計算x與y的夾角θ，需求出|x|,|y|,x?y的值.計算時要注意計算的準確性.
解：由已知|a|=|b|=1，a與b的夾角α為60°,得a?b=|a||b|cosα=
.
要計算x與y的夾角θ，需求出|x|，|y|，x?y的值.
∵|x|2=x2=(+1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b?a+a2=9－6×+1=7.
x?y=(
=－2－3=－
，
又∵x?y=|x||y|cosθ，即－=
×
cosθ，
∴cosθ=－
，θ=π－arccos.即x與y的夾角是π－arccos
點評：①本題利用模的性質|a|2=a2，②在計算x,y的模時，還可以借助向量加法、減法的幾何意義獲得：如圖所示，設
=b,
=a, 
=
=
－=|=，即|x|=，同理可得|y|=.
重點2.平面向量的數量積及運算律
例5、設a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則①（a?b）c－（c?a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b?c）a－（c?a）b不與c垂直④（
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案：D
解析：①平面向量的數量積不滿足結合律.故①假；
②由向量的減法運算可知|a|、|b|、|a－b|恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故②真；
③因為［（b?c）a－（c?a）b］?c=（b?c）a?c－（c?a）b?c=0，所以垂直.故③假；
④（
點撥：作為選擇題要注意解題方法的選擇，先分析對錯最為明顯的論斷以排除選項.注意區分向量運算與數量運算.
重點3. 利用向量推導出了正弦定理、余弦定理，其實用向量推導其它三角公式也很方便，同時說明向量與三角是有密切聯系的。
]例2 設函數
，其中向量
.
（1）求函數
的最大值和最小正周期；
（2）將函數
的圖像按向量
平移，使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的.
解：(1)由題意得，f(x)＝
=(sinx,－cosx)?(sinx－cosx,sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+
sin(2x+
).所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是
＝
.
（2）由sin(2x+)＝0得2x+＝k.，即x＝
,k∈Z，于是d＝（，－2），
k∈Z.,因為k為整數，要使
最小，則只有k＝1，此時d＝（?
，?2）即為所求.
點評：本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的性質及圖像的基本知識，考查推理和運算能力。
重點4.平面向量綜合問題
例6、例、若直線
按向量
平移后與圓
相切，則c的值為
A．8或－2 B．6或－
解析：按向量平移后得
，此直線與圓相切
點撥：本題考查向量的平移公式和直線與圓的位置關系，是向量和直線與圓的小綜合，求解時關鍵在于運用點與函數圖象按向量
平移的公式.
例4、已知x2+y2+z2=6，a2+b2+c2=4 (x,y,z,a,b,c∈R)，求ax+by+cz的最值。
解：構造向量，
，則
∴ax+by+cz的最大值為
，最小值為
.+
點評: 巧妙構造向量，利用向量的數量積性質:
是求解本題的關鍵.特別是對于某些含有乘方之和或乘積之和式子的條件最值問題，向量的數量積性質求解顯得更加獨特巧妙。
四、掃雷先鋒
雷區1.概念理解模糊
例1 在
中，若
，則是（ ）
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定
錯解1：因為，所以
，所以
，因此角
為銳角。故選
。
錯解2：因為，所以，所以，因此角為銳角，但其他兩個角并不能確定，故選
。
錯因分析：產生上述錯誤的主要原因是對向量的夾角的概念理解模糊，向量
與
的夾角不是角，而是角的外角。
正確解法：由，可得
，所以
，即為銳角，所以為鈍角。故選
。
雷區2.生搬硬套公式致錯
例2 已知
，
，將向量按向量
平移后所得的向量
的坐標為
（
）
A. 
B. 
C.
D.
錯解：
,由平移公式得
，∴向量按向量平移后所得的向量的坐標為，故選。
錯因分析：平移公式揭示的是點沿著向量平移后前后坐標間的變化關系，而向量可以自由平行移動，即向量平移時向量的坐標不變。上述錯誤是將平移公式生搬硬套。
正解1：因向量平移后仍與原來的向量相等，則
，故選。
正解2：，按向量平移后所得
，
，所以
，故選。
雷區3.忽視向量的特性錯誤
例3、已知向量、
都是非零向量，且向量
與向量
垂直，向量
與向量
垂直，求向量與的夾角。
錯解：由題意得
，即
，兩式相減得
，即
，所以
（不合題意舍去）或
。由知、方向相同。故向量與的夾角為
。
錯因分析：本解法誤用了實數的性質：對于實數
、
，若滿足
，則必有
或
。但對于向量與，若滿足
時，與不一定為零向量，這是因為任意與垂直的非零向量都有。
正解：由題意可知向量與不共線，所以，即，兩式相減得，即
，代入
得
，所以
，設向量與的夾角為
，所以
。
雷區4.運算律掌握不牢固致錯
例4 若向量與不共線，
，且
，則向量與
的夾角（
）
（）
（
）
（
）
錯解：由可得，
，所以向量與的夾角為。選（）。
錯因分析：此解法出錯的原因是對
進行了約分處理。
正解：由題意得
，所以向量與的夾角為。故選（）。
雷區5.思想應用錯誤
例5 已知向量
，
，對任意
恒有
，則 （ ）
（）
（）
（）
（）
錯解：由已知條件兩邊平方得： 
，即
恒成立故需
得：
，而答案中無此項。
錯因分析：錯誤的主要原因是整理成關于
的二次不等式后，不能把
看成一個整體，一個參數，或不會把“1”看成
，而總以為自己因做錯得不到答案。
正解：接上，
，又因為
，所以。
雷區6.考慮不周錯誤
例6 已知點
，
，
，
，
，
，若
，
，試求
為何值時，點
在第三象限。
錯解：因為，，，，，，
，
，
，
，所以
，
，于是
，解得
。
錯因分析：本題誤把向量
的坐標當做了點的坐標。利用向量的坐標判斷點在那個象限時，應把向量的起點移動到坐標原點。
正解：設點
，
，由題意得，，
，
。所以
，解得
，于是
。
五、沙場練兵
一、選擇題
1.若三點P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共線，則（ ）
A.x=-1 B.x=
D.x=51
2.與向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）
A.（-5k,4k） B.(-
,-
) C.(-10,2) D.(5k,4k)
3.若點P分所成的比為
，則A分
所成的比是（ ）
A.
B.
C.-
D.-
4.已知向量a、b，a?a=-40，|a|=10,|b|=8，則向量a與b的夾角為（ ）
A.60° B.-60° C.120° D.-120°
5.若|a-b|=
,|a|=4,|b|=5，則向量a?b=（ ）
A.10 B.-10 C.10 D.10
6.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量a+x?b與b垂直，則x的值為（ ）
A.
B.
C.2 D.-
7.設四邊形ABCD中，有
=，且||=|
|，則這個四邊形是（ ）
A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
10.將y=x+2的圖像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式為（ ）
A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10
11.已知平行四邊形的3個頂點為A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，則它的第4個頂點D的坐標是（ ）
A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a)
二、填空題
2．已知向量
，
．若向量
，則實數
的值是 -3
．
5．已知向量a = (
), b = (
,-1)，則
的最大值是 4 ．
7．已知△ABC內一點P滿足
，則P為△ABC的 重 心．
一、選擇題
1.B 2.A 3.C 4.C 5.A6.D 7.C10.B11.C
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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