2009屆普通高中畢業班第二次質量檢測
理科數學
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至2頁．第Ⅱ卷3至5頁．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時間120分鐘．總分150分．
第Ⅰ卷
注意事項：
1．答題前，考生在答題卡上務必用直徑0．5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚．
2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，在試題卷上作答無效．
3．本卷共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．
一．選擇題
（1）設復數
滿足
，則等于
A．
B．
C．
D．
（2）已知
，
，若
，則實數
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
（3）若函數
在
內單調遞減，則
可以是
A．1
B．
C．
D．
（4）函數
的反函數是
A． 
，
C． ，
B． 
，
D． 
，
（5）設直線
經過點
，且
、
兩點到直線的距離相等，則直線的方程是
A． 
C． 
B． 或
D． 或
（6）設
，
，則下列各式中成立的是
A．
C．
B．
D．
（7）在
的二項展開式中，常數項為60，則n等于
A．4
B．6
C．8
D．10
（8）設雙曲線
的右焦點為F，右準線為．如果以F為圓心，實軸長為半徑的圓與相交，那么雙曲線的離心率
的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
（9）已知M為△ABC內一點，且
，
．如果△MBC、△MCA、
△MAB的面積分別為
、
、
，則
的最小值為
A．9
B．18
C．16
D．20
（10）已知正四棱錐S－ABCD的側棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE與SD所成的角的余弦值為
A．
B．
C．
D．
（11）設數列
（
）的前
項和為
，則
A．0
B．
C．
D．
（12）設R上的函數滿足
，它的導函數的圖像如圖，若正數、
滿足
，則
的取值范圍是
A．
C．
B．
D．
第Ⅱ卷
注意事項：
1．答題前，考生用直徑0．5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名、準考證號填寫清楚．
2． 第Ⅱ卷共3頁，請用直徑0．5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區域內作答，在試題卷上作答無效．
3．本卷共10小題，共90分．
（13）某師范性高中響應上級號召，安排3名教師到4所邊遠山區學校支教，每所學校至多安排2人，則不同的分配方案有 ___ ．（用數字作答）
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．
（14）已知向量
，
，
，且A為銳角，則角A=_________．
（15）如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則三棱錐P－DCE的外接球的體積為_______________．
（16）已知正態分布
的密度曲線是
，給出以下四個命題：
①對任意
，
成立；
②如果隨機變量
服從，且
，那么
是R上的增函數；
③如果隨機變量服從
，那么的期望是108，標準差是100；
④隨機變量服從，
，
，則
；其中，真命題的序號是 ________ ．（寫出所有真命題序號）
（17）（本小題滿分10分）
三．解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
已知函數
．
（Ⅰ）求的單調區間；
（Ⅱ）設
，求的值域．
（18）（本小題滿分12分）
某高校自主招生中，體育特長生的選拔考試，籃球項目初試辦法規定：每位考生定點投籃，投進2球立刻停止，但投籃的總次數不能超過5次，投籃時間不能超過半分鐘．某考生參加了這項測試，他投籃的命中率為
，假設他各次投籃之間互不影響．若記投籃的次數為，求的分布列和數學期望．
（19）（本大題滿分12分）
已知數列
和等比數列
滿足：
，
，
，且數列
是等差數列，．
（Ⅰ）求數列和的通項公式；
（Ⅱ）問是否存在
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
（20）（本大題滿分12分）
如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PC⊥AD ，ABCD為梯形，
AB∥CD，AB⊥BC， AB=BC=PA，點E在PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求證：PD∥平面ACE；
（Ⅱ）求二面角A-EC-P的大小．
（21）（本小題滿分12分）
已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率
，直線
與E相交于A、B兩點，與x軸相交于C點，且
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）如果橢圓E上存在兩點M、N關于直線
對稱，求m的取值范圍．
（22）（本小題滿分12分）
設
，函數
，
．
（I）當
時，求的最小值；
（II）假設存在
，使得|
|<1成立，求的取值范圍．
2009屆高三第二次調研考試
一．選擇題：CDDA DDBA BBDC ．
二．填空題：（13）60，（14）
，（15）
，（16）①②④ ．
三．解答題：
（17）解：（Ⅰ）∵
．
………3分
∴令
， ………4分
∴
的遞減區間是
，
；
………5分
令
，
………6分
∴的遞增區間是
，．
………7分
（Ⅱ）∵
，∴
，
………8分
又
，所以，根據單位圓內的三角函數線
可得
．
………10分
（18）解：由題意
，
………1分
，
………2分
，
………4分
，
………6分
，
………8分
所以
的分布列為：
…
………9分
．
………12分
（19）解：（Ⅰ）由題設可知，
．
………1分
∵
，
，
∴
，
………3分
∴
，
………5分
∴ 
．
………6分
（Ⅱ）設
．
………7分
顯然，
時，
，
………8分
又
， ∴當
時，
，∴
，
當
時，
，∴
，
………9分
當
時，
，∴
，
………10分
當
時，
恒成立，
∴
恒成立，
………11分
∴存在
，使得
．
………12分
（20）解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，PC⊥AD，∴AC⊥AD． ………1分
設AB=1，則AC=
，CD=2．
………2分
設F是AC與BD的交點，∵ABCD為梯形，
∴△ABF～△CDF， ∴DF：FB=2：1， ………3分
又PE：EB=2：1，∴DF：FB=PE：EB，∴EF∥PD， ………5分
又EF在平面ACE內，∴PD∥平面ACE． ………6分
（Ⅱ）以A為坐標原點，AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，如圖．
設AB=1，則
，
，
，
，
………7分
則
，
，
，
， ………8分
設
，∵
，
，∴
， …9分
設
，∵
，
，∴
， …10分
∴
，
………11分
∴二面角A-EC-P的大小為
．………12分
注：學生使用其它解法應同步給分．
（21）解：（Ⅰ）設所求的橢圓E的方程為
，
………1分
、
，將
代入橢圓得
， ………2分
∵
，又
，∴ 
，
………3分
∴
， ………4分，
， ………5分
∴所求的橢圓E的方程為
．
………6分
（Ⅱ）設
、
，則
，
，
………7分
又設MN的中點為
，則以上兩式相減得：
，
………8分
∴
，………9分， 
，
………10分
又點在橢圓內，∴
，
………11分
即，
，∴
．
………12分
注：學生使用其它解法應同步給分．
（22）解：（Ⅰ）∵
，
……2分
∵
，
∴
時，遞增，
時，遞減，
時，遞增，
所以的極大值點為
，極小值點為
，
……4分
（的圖像如右圖，供評卷老師參考）
所以，的最小值是
．
……6分
（II）由（Ⅰ）知在
的值域是：
當時，為
，當
時，為．
……8分
而
在的值域是為
，
……9分
所以，當時，令
，并解得
，
當時，令
，無解．
因此，
的取值范圍是．
……12分
注：學生使用其它解法應同步給分．
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，
，
， ……5分