江蘇省通州市2009屆高考回歸課本專項檢測
數學試題
(考試時間：120分鐘；滿分：160分)
一、填空題：（共14小題，每小題5分，共計70分．把答案填在答題紙指定的橫線上）
1. 若集合
= ．
2．在某項才藝競賽中，有9位評委，主辦單位規定計算參賽者比賽成績的規則如下：剔除評委中的一個最高分和一個最低分后，再計算其它7位評委的平均分作為此參賽者的比賽成績．現有一位參賽者所獲9位評委一個最高分為86分、一個最低分為45分，若未剔除最高分與最低分時9位評委的平均分為76分，則這位參賽者的比賽成績為
分．
3．復數
滿足
，則復數的實部與虛部之和為
.
4. 已知條件
條件
且
是
的充分不必要條件，則a的取值范圍是 ．
5. 設
是各項都是正數的等比數列
的前
項和，若
，則公比
的取值范圍是 .
6. 若正三棱錐的主視圖與俯視圖如下（單位cm），則左視圖的面積為
．
 |
|||
 |
|||
7. 根據上面的框圖，該程序運行后輸出的結果為 .
8. 若
是定義在R上的奇函數，且當
時，
；當
時，
．則函數
的零點有________個.
9. 函數
的圖象向右平移
個單位可得函數
的圖象，若在
上為增函數，則
的最大值為 .
10. 已知圓
的方程為
，
是圓上的一個動點，若
的垂直平分線總是被平面區域
覆蓋，則實數
的取值范圍是 .
11.己知雙曲線的方程為
，直線
的方程為
，過雙曲線的右焦點
的直線
與雙曲線的右支相交于P、
，以
為直徑的圓與直線相交于
、
，記劣弧
的長度為
，則
的值為
.
12. 在
中，若
，則的外接圓半徑
．
將此結論拓展到空間，可得出的正確結論是：在四面體
中，若
兩
兩垂直，
，則四面體的外接球半徑R=
．
13. 設函數
，
,若對于任意
，總存在
，使得
成立．則正整數a的最小值為 .
14. 在正整數數列中，由1開始依次按如下規則將某些數染成紅色，先染 1，再染2個偶數2、4；再染4后面最鄰近的3個連續奇數 5、7、9；再染 9 后面最鄰近的4個連續偶數 10、12、14、16；再染此后最鄰近的5個連續奇數17、19、21、23、25. 按此規則一直染下去，得到一紅色子數列 1，2，4，5，7，9，12，14，16,17，…. 則在這個紅色子數列中，由1開始的第2009個數是 .
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟
15.（本小題14分）已知向量
.
（1）若
,求
的值；
（2）記
，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a,b,c，且滿足
（
16. （本小題14分）已知關于
的一元二次函數
（1）設集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為
和
，求函數
在區間[
上是增函數的概率；
（2）設點（，）是區域
內的隨機點，求函數
上是增函數的概率.
17. （本小題15分）如圖，
為圓
的直徑，點
、
在圓上，且
，矩形
所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且
，
.
（1）求證：
平面
；
（2）設
的中點為
，求證：
平面
；
（3）設平面將幾何體
分成的兩個錐體的
體積分別為
，
，求
．
18. （本小題15分）在平面直角坐標系
中 ，已知以為圓心的圓與直線
：
，
恒有公共點，且要求使圓的面積最小.
（1）寫出圓的方程；
（2）圓與軸相交于A、B兩點，圓內動點P使
、
、
成等比數列，求
的范圍；
（3）已知定點Q（
，3），直線與圓交于M、N兩點，試判斷
是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此時直線的方程，若不存在，給出理由.
19. （本小題16分）已知函數
，
，其中
．
（1）若
是函數
的極值點，求實數的值；
（2）若函數
在
（
為自然對數的底數）上存在零點，求實數的取值范圍.
20. （本小題16分）已知數列 
和
滿足 
(1)當m=1時，求證：對于任意的實數
一定不是等差數列；
(2)當
時，試判斷
是否為等比數列；
回歸課本專項檢測
數學附加題
(考試時間：30分鐘；滿分：40分)
21．【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A．【選修4－1：幾何證明選講】如圖，已知
為圓O的直徑，直線
與圓O相切于點
，直線
與弦
垂直并相交于點
，與弧相交于
，連接
,
,
.
（1）求證：
；
（2）求
.
B．【選修4－2：矩陣與變換】矩陣與變換：給定矩陣
．
試求矩陣的特征值及對應的特征向量．
C．【選修4－4：坐標系與參數方程】已知直線的參數方程：
（
為參數），曲線C的極坐標方程：
，求直線被曲線C截得的弦長．
D．【選修4－5：不等式選講】 設
,求證：
.
【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
22. 一種填數字彩票2元一張，購買者在卡上依次填上0~9中的兩個數字（允許重復）．中獎規則如下：如果購買者所填的兩個數字依次與開獎的兩個有序數字分別對應相等，則中一等獎10元；如果購買者所填的兩個數字中，只有第二個數字與開獎的第二個數字相等，則中二等獎2元；其他情況均無獎金．
（1）小明和小輝在沒有商量的情況下各買一張這種彩票，求他倆都中一等獎的概率；
（2）求購買一張這種彩票中獎的概率；
（3）設購買一張這種彩票的收益為隨機變量
，求的數學期望．
23. 動點P在x軸與直線l：y＝3之間的區域（含邊界）上運動，且點P到點F（0，1）和直線l的距離之和為4．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）過點Q（0，－1）作曲線C的切線，求所作的切線與曲線C所圍成的區域的面積．
一、填空題：
1．
；2． 79 ；3.1； 4． 
； 5.
；6. 
； 7.16 ；8.7；
9.2；
10. 
； 11. 
； 12. 
； 13. 2； 14. 3955.
特別說明：有消息說，今年數學的填空題的壓軸題將比較新、比較難，我們在評講時要教育學生有這方面的心理準備。
二、解答題：
15.解：（1）
∵
∴
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
┉┉┉┉┉┉┉7分
（2）∵（
由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC┉┉┉┉┉┉8分
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)
∵
∴
，
∴
┉┉┉┉┉┉10分
∴
┉┉┉┉┉┉11分
∴
┉┉┉┉┉┉12分
又∵
,∴
┉┉┉┉┉┉13分
故函數f(A)的取值范圍是
┉┉┉┉┉┉14分
16. 解：（1）∵函數
的圖象的對稱軸為
要使在區間
上為增函數，
當且僅當
>0且
……………………………3分
若=1則
=－1，
若=2則=－1，1
若=3則=－1，1；
……………………………5分
∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5
∴所求事件的概率為
……………………………7分
（2）由（Ⅰ）知當且僅當
且>0時，
函數
上為增函數，
依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為
構成所求事件的區域為三角形部分。 ………………………………9分
由
……………………………11分
∴所求事件的概率為
…………………………… 14分
17. （1）證明： 
平面
平面
,
,
平面
平面=
，
平面，
平面，
,……… 2分
又
為圓
的直徑，
， 
平面
。……… 5分
（2）設
的中點為
，則
，又
，則，
為平行四邊形，
……… 7分
，又
平面
，
平面，
平面。……… 9分
(3)過點
作
于
，平面平面，
平面
，
，……… 11分
平面，
，……… 14分
． ……… 15分
18. 解：（1）因為直線
：
過定點T（4，3）……… 2分
由題意，要使圓的面積最小, 定點T（4，3）在圓上，
所以圓的方程為
；……… 4分
（2）A（-5，0），B（5，0），設
，則
……（1）
，
，
由
成等比數列得，
，
即
，整理得：
,
即
……（2）
由（1）（2）得：
，
，
……………………… 9分
（3）
，……… 11分
由題意，得直線與圓O的一個交點為M（4，3），又知定點Q（
，3），
直線
：
，
，則當
時
有最大值32. ……… 14分
即
有最大值為32，
此時直線
的方程為
.……… 15分
特別說明：第19題、第20題不是完整的壓軸題，原作者都有第3問設計，為了強化考試策略教育，讓學生有信心做壓軸題的開始一兩問，并在考前體會做好基礎題可以拿高分，我們特意進行了刪減處理。特別優秀的班級（如市中的奧班，可以添加第三問（祥見文末附件），并將評分標準作相應調整。
19.解：（1）∵
，其定義域為
，
∴
．……………………… 3分
∵
是函數
的極值點，∴
，即
．
∵
，∴
． ……………………… 6分
經檢驗當時，是函數的極值點，
∴．
……………………… 8分
（2）由題意，可知方程
在區間
上有根，因為
在上是單調減函數，
在上是單調增函數，……………………… 10分
所以，
……………………… 14分
……………………… 16分
20.解：(1) 
┉┉┉┉┉┉2分
┉┉┉┉┉┉5分
┉┉┉┉┉┉8分
（2）
┉┉┉┉┉┉10分
┉┉┉┉┉┉12分
┉┉┉┉┉┉14分
┉┉┉┉┉┉16分
附加題部分
A（1）證明：因為
，所以
又
是圓O的直徑，所以
又因為
（弦切角等于同弧所對圓周角）……………………3分
所以
所以
又因為
，所以
相似
所以
，即
……………………5分
（2）解：因為
，所以
，
因為
，所以
由（1）知：
。所以
……………………8分
所以
，即圓的直徑
又因為
，即
解得
……………………10分
B.解：令
得到：
……………2分
解得：
……………………6
所以，矩陣A的特征值為2和3．
當
，
令
得
，
所以，對應的特征向量為
……………………8
當
，
令得
，所以，對應的特征向量為
矩陣Ａ的兩個特征值分別是2和3，它們對應的特征向量分別是和．…10分
C.解：將直線的參數方程化為普通方程為：
……………………2分
將圓C的極坐標方程化為普通方程為：
………………4分
從圓方程中可知：圓心C（1，1），半徑
，
所以，圓心C到直線的距離
…………6分
所以直線與圓C相交． ……………………7分
所以直線被圓C截得的弦長為
.……………………10分
D.證明：要證原不等式成立，只須證：
即只須證：
由柯西不等式易知上式顯然成立，所以原不等式成立.
22.解：（1）設“小明中一等獎”為事件B1 ，“小輝中一等獎”為事件B2 ，事件B1與事件B2相互獨立，他們倆都中一等獎，則P(B1B2)=P(B1)P(B2)=0.0001
所以，購買兩張這種彩票都中一等獎的概率為
．………..3分
（2）設“購買一張這種彩票中一等獎”為事件A，“購買一張這種彩票中二等獎”為事件B，顯然，事件A與事件B互斥，
所以，
……………………5分
故購買一張這種彩票能中獎的概率為0.1．……………………6分
（3）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，
的分布列如下：
……………………9分
購買一張這種彩票的期望收益為損失
元．……………………10分
23. 解：（1）設P（x，y），根據題意，得
．………3分
化簡，得
．……………………………………………4分
（2）設過Q的直線方程為
，代入拋物線方程，整理，得
．
∴△＝
．解得
．………………………………………6分
所求切線方程為
（也可以用導數求得切線方程），
此時切點的坐標為（2，1），（－2，1），且切點在曲線C上． …………8分
由對稱性知所求的區域的面積為
．……………………………10分
附件：
第19題第3問：
（3）若對任意的
都有
成立，求實數的取值范圍．
（3）對任意的
都有
≥
成立等價于對任意的都有
≥
．……………………… 7分
當
［1，
］時，
．
∴函數
在
上是增函數．
∴
．………………………9分
∵
，且
，．
①當
且
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