題目列表(包括答案和解析)
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和特征值λ2=2及對應的一個特征向量
，試求矩陣A及其逆矩陣A-1．選修4—1：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值
及對應的一個特征向量
和特征值
及對應
的一個特征向量
，試求矩陣A．
和特征值λ2=2及對應的一個特征向量
，試求矩陣A．一、填空題：
1．
；2． 79 ；3.1； 4． 
； 5.
；6. 
； 7.16 ；8.7；
9.2；
10. 
； 11. 
； 12. 
； 13. 2； 14. 3955.
特別說明：有消息說，今年數學的填空題的壓軸題將比較新、比較難，我們在評講時要教育學生有這方面的心理準備。
二、解答題：
15.解：（1）
∵
∴
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
┉┉┉┉┉┉┉7分
（2）∵（
由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC┉┉┉┉┉┉8分
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)
∵
∴
，
∴
┉┉┉┉┉┉10分
∴
┉┉┉┉┉┉11分
∴
┉┉┉┉┉┉12分
又∵
,∴
┉┉┉┉┉┉13分
故函數f(A)的取值范圍是
┉┉┉┉┉┉14分
16. 解：（1）∵函數
的圖象的對稱軸為
要使在區間
上為增函數，
當且僅當
>0且
……………………………3分
若=1則
=－1，
若=2則=－1，1
若=3則=－1，1；
……………………………5分
∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5
∴所求事件的概率為
……………………………7分
（2）由（Ⅰ）知當且僅當
且>0時，
函數
上為增函數，
依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為
構成所求事件的區域為三角形部分。 ………………………………9分
由
……………………………11分
∴所求事件的概率為
…………………………… 14分
17. （1）證明： 
平面
平面
,
,
平面
平面=
，
平面，
平面，
,……… 2分
又
為圓
的直徑，
， 
平面
。……… 5分
（2）設
的中點為
，則
，又
，則，
為平行四邊形，
……… 7分
，又
平面
，
平面，
平面。……… 9分
(3)過點
作
于
，平面平面，
平面
，
，……… 11分
平面，
，……… 14分
． ……… 15分
18. 解：（1）因為直線
：
過定點T（4，3）……… 2分
由題意，要使圓的面積最小, 定點T（4，3）在圓上，
所以圓的方程為
；……… 4分
（2）A（-5，0），B（5，0），設
，則
……（1）
，
，
由
成等比數列得，
，
即
，整理得：
,
即
……（2）
由（1）（2）得：
，
，
……………………… 9分
（3）
，……… 11分
由題意，得直線與圓O的一個交點為M（4，3），又知定點Q（
，3），
直線
：
，
，則當
時
有最大值32. ……… 14分
即
有最大值為32，
此時直線
的方程為
.……… 15分
特別說明：第19題、第20題不是完整的壓軸題，原作者都有第3問設計，為了強化考試策略教育，讓學生有信心做壓軸題的開始一兩問，并在考前體會做好基礎題可以拿高分，我們特意進行了刪減處理。特別優秀的班級（如市中的奧班，可以添加第三問（祥見文末附件），并將評分標準作相應調整。
19.解：（1）∵
，其定義域為
，
∴
．……………………… 3分
∵
是函數
的極值點，∴
，即
．
∵
，∴
． ……………………… 6分
經檢驗當時，是函數的極值點，
∴．
……………………… 8分
（2）由題意，可知方程
在區間
上有根，因為
在上是單調減函數，
在上是單調增函數，……………………… 10分
所以，
……………………… 14分
……………………… 16分
20.解：(1) 
┉┉┉┉┉┉2分
┉┉┉┉┉┉5分
┉┉┉┉┉┉8分
（2）
┉┉┉┉┉┉10分
┉┉┉┉┉┉12分
┉┉┉┉┉┉14分
┉┉┉┉┉┉16分
附加題部分
A（1）證明：因為
，所以
又
是圓O的直徑，所以
又因為
（弦切角等于同弧所對圓周角）……………………3分
所以
所以
又因為
，所以
相似
所以
，即
……………………5分
（2）解：因為
，所以
，
因為
，所以
由（1）知：
。所以
……………………8分
所以
，即圓的直徑
又因為
，即
解得
……………………10分
B.解：令
得到：
……………2分
解得：
……………………6
所以，矩陣A的特征值為2和3．
當
，
令
得
，
所以，對應的特征向量為
……………………8
當
，
令得
，所以，對應的特征向量為
矩陣Ａ的兩個特征值分別是2和3，它們對應的特征向量分別是和．…10分
C.解：將直線的參數方程化為普通方程為：
……………………2分
將圓C的極坐標方程化為普通方程為：
………………4分
從圓方程中可知：圓心C（1，1），半徑
，
所以，圓心C到直線的距離
…………6分
所以直線與圓C相交． ……………………7分
所以直線被圓C截得的弦長為
.……………………10分
D.證明：要證原不等式成立，只須證：
即只須證：
由柯西不等式易知上式顯然成立，所以原不等式成立.
22.解：（1）設“小明中一等獎”為事件B1 ，“小輝中一等獎”為事件B2 ，事件B1與事件B2相互獨立，他們倆都中一等獎，則P(B1B2)=P(B1)P(B2)=0.0001
所以，購買兩張這種彩票都中一等獎的概率為
．………..3分
（2）設“購買一張這種彩票中一等獎”為事件A，“購買一張這種彩票中二等獎”為事件B，顯然，事件A與事件B互斥，
所以，
……………………5分
故購買一張這種彩票能中獎的概率為0.1．……………………6分
（3）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，
的分布列如下：
……………………9分
購買一張這種彩票的期望收益為損失
元．……………………10分
23. 解：（1）設P（x，y），根據題意，得
．………3分
化簡，得
．……………………………………………4分
（2）設過Q的直線方程為
，代入拋物線方程，整理，得
．
∴△＝
．解得
．………………………………………6分
所求切線方程為
（也可以用導數求得切線方程），
此時切點的坐標為（2，1），（－2，1），且切點在曲線C上． …………8分
由對稱性知所求的區域的面積為
．……………………………10分
附件：
第19題第3問：
（3）若對任意的
都有
成立，求實數的取值范圍．
（3）對任意的
都有
≥
成立等價于對任意的都有
≥
．……………………… 7分
當
［1，
］時，
．
∴函數
在
上是增函數．
∴
．………………………9分
∵
，且
，．
①當
且
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