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已知函數，（為自然對數的底數）。
（1）當時，求函數在區間上的最大值和最小值；
（2）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍。

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一、填空題：

1．；2． 79 ；3.1；  4． ； 5.；6. ； 7.16 ；8.7；  9.2；  10. ； 11. ； 12. ； 13. 2； 14. 3955.

特別說明：有消息說，今年數學的填空題的壓軸題將比較新、比較難，我們在評講時要教育學生有這方面的心理準備。

二、解答題：

15.解：（1）

      ∵      ∴┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

      ┉┉┉┉┉┉┉7分

  （2）∵（2a-c）cosB=bcosC

       由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC┉┉┉┉┉┉8分

     ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC  ∴2sinAcosB=sin(B+C)

∵    ∴，

∴┉┉┉┉┉┉10分

∴┉┉┉┉┉┉11分

∴┉┉┉┉┉┉12分

又∵,∴ ┉┉┉┉┉┉13分

故函數f(A)的取值范圍是┉┉┉┉┉┉14分

16. 解：（1）∵函數的圖象的對稱軸為

要使在區間上為增函數，

當且僅當>0且       ……………………………3分

若=1則=－1，

若=2則=－1，1

若=3則=－1，1；                 ……………………………5分

∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5

∴所求事件的概率為             ……………………………7分

（2）由（Ⅰ）知當且僅當且>0時，

函數上為增函數，

依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為

構成所求事件的區域為三角形部分。  ………………………………9分

由 ……………………………11分

∴所求事件的概率為 ……………………………　14分

17. （1）證明： 平面平面,,

平面平面=，平面，                              

平面， ,………　2分

又為圓的直徑，， 平面。………　5分                                    

（2）設的中點為，則，又，則，為平行四邊形，                     ………　7分

，又平面，平面，

平面。………　9分                                  

(3)過點作于，平面平面，

平面，，………　11分

 平面，

，………　14分

．      ………　15分

18. 解：（1）因為直線：過定點T（4，3）………　2分

由題意，要使圓的面積最小, 定點T（4，3）在圓上，

所以圓的方程為；………　4分

（2）A（-5，0），B（5，0），設，則……（1）

，，

由成等比數列得，，

即，整理得：,

即……（2）

由（1）（2）得：，，

………………………　9分

（3）

 ，………　11分

由題意，得直線與圓O的一個交點為M（4，3），又知定點Q（，3），

直線：，，則當時有最大值32. ………　14分

即有最大值為32，

此時直線的方程為.………　15分

特別說明：第19題、第20題不是完整的壓軸題，原作者都有第3問設計，為了強化考試策略教育，讓學生有信心做壓軸題的開始一兩問，并在考前體會做好基礎題可以拿高分，我們特意進行了刪減處理。特別優秀的班級（如市中的奧班，可以添加第三問（祥見文末附件），并將評分標準作相應調整。

19.解：（1）∵，其定義域為，  

∴．………………………　3分

∵是函數的極值點，∴，即．                                         

∵，∴．  ………………………　6分                                             

經檢驗當時，是函數的極值點，

∴．　                          ………………………　8分      

（2）由題意，可知方程在區間上有根，因為在上是單調減函數，在上是單調增函數，………………………　10分

所以，………………………　14分

………………………　16分

20.解：(1) ┉┉┉┉┉┉2分

    ┉┉┉┉┉┉5分

┉┉┉┉┉┉8分

（2）           ┉┉┉┉┉┉10分

                                ┉┉┉┉┉┉12分

     ┉┉┉┉┉┉14分

┉┉┉┉┉┉16分

附加題部分

A（1）證明：因為，所以

      又是圓O的直徑，所以

      又因為（弦切角等于同弧所對圓周角）……………………3分

      所以所以

      又因為，所以相似

      所以，即 ……………………5分

  （2）解：因為，所以，

       因為，所以

       由（1）知：。所以 ……………………8分

       所以，即圓的直徑

       又因為，即

     解得 ……………………10分

B.解：令 得到：  ……………2分

解得：                          ……………………6

    所以，矩陣A的特征值為2和3．

當，　令得，

所以，對應的特征向量為 ……………………8

當，　令得，所以，對應的特征向量為

　矩陣Ａ的兩個特征值分別是2和3，它們對應的特征向量分別是和．…10分

C.解：將直線的參數方程化為普通方程為：      ……………………2分

    將圓C的極坐標方程化為普通方程為：  ………………4分

    從圓方程中可知：圓心C（1，1），半徑  ，

    所以，圓心C到直線的距離  …………6分

    所以直線與圓C相交．　　　　　　　　　　　　　　　……………………7分

   所以直線被圓C截得的弦長為.……………………10分

D.證明：要證原不等式成立，只須證：

即只須證：

由柯西不等式易知上式顯然成立，所以原不等式成立.

22.解：（1）設“小明中一等獎”為事件B₁ ，“小輝中一等獎”為事件B₂ ，事件B₁與事件B₂相互獨立，他們倆都中一等獎，則P(B₁B₂)=P(B₁)P(B₂)=0.0001

所以，購買兩張這種彩票都中一等獎的概率為．………..3分

（2）設“購買一張這種彩票中一等獎”為事件A，“購買一張這種彩票中二等獎”為事件B，顯然，事件A與事件B互斥，

所以， ……………………5分

故購買一張這種彩票能中獎的概率為0.1．……………………6分

（3）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，的分布列如下：

……………………9分

購買一張這種彩票的期望收益為損失元．……………………10分

23. 解：（1）設P（x，y），根據題意，得．………3分

化簡，得．……………………………………………4分

（2）設過Q的直線方程為，代入拋物線方程，整理，得．

∴△＝．解得．………………………………………6分

所求切線方程為（也可以用導數求得切線方程），

此時切點的坐標為（2，1），（－2，1），且切點在曲線C上． …………8分

由對稱性知所求的區域的面積為

．……………………………10分

附件：

第19題第3問：

（3）若對任意的都有成立，求實數的取值范圍．

（3）對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥．………………………　7分

當［1，］時，．

∴函數在上是增函數．

∴．………………………9分

∵，且，．

①當且