內蒙古赤峰二中2009年3月高三統一考試
數學（理）
本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題，共60分）
一 。選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若
（
表示虛數單位），則復數
在復平面內對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．設
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．不充分也不必要條件
3 .在各項均為正數的等比數列{
}中, 
、
是方程
的兩個根，則
的值為
A. 32
B. 
64
D.256
4．設曲線
在點
處的切線與直線
垂直，則
A．2 B．
C．
D．
5．已知f(sinx+cosx)=tanx（x
[0,π]），則f (
)等于
A .－
B. －
C. ± D. －或－
6．一臺計算機裝置的示意圖如圖所示，其中
、
表示數據入口，C是計算結果的出口．計算過程是由、分別輸入正整數
和
，經過計算機運算后由C輸出的結果為正整數
．此裝置滿足下列三個性質：①
；②
；③
．現從輸入5、輸入6，則輸出結果
的值為
A．20
B．
7．棱長為3的正三棱柱內接于球O中，則球O的表面積為
A．36
B．
C．9 D．8
8．已知A
、B
，以AB為一腰作使∠DAB=
直角梯形ABCD，且
，CD中點的縱坐標為1．若橢圓以A、B為焦點且經過點D，則此橢圓的方程為
A．
B．
C．
D．
9．已知O為直角坐標系原點，P、Q的坐標滿足不等式組
，則
的最小值為（ ）
A、
B、
C、
D、0
10 .袋中裝有編號從1、2、3、4的四個球，四個人從中各取一個球，則甲不取1號球，乙不取2號球，丙不取3號球，丁不取4號球的概率
A.
B.
C.
D.
11.如圖所示，O、A、B是平面上三點，向量
在平面 AOB上，P為線段AB的垂直平分線上任一點，
向量
則
?（
）值是
A.
B.5 C.3
D. 
12．已知函數
的定義域為
，部分對應值如下表，
為的導函數，函數
的圖像如圖所示．若兩正數
滿足
，則
的取值范圍是
-2
0
4
1
-1
1
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。請將答案直接填在題中橫線上。
13．若
則
14.直三棱柱
中，
，則直線
與平面
所成角的正切值為 。
15．已知函數f(x)= 
在x=1處連續，則
___
16．給出下列四個結論：
①若A、B、C、D是平面內四點，則必有
；
②“
”是“
”的充要條件；
③如果函數
對任意的
都滿足
，則函數是周期函數；
④已知點
和直線
分別是函數
圖像的一個對稱中心和一條對稱軸，則
的最小值為2；
其中正確結論的序號是 ．（填上所有正確結論的序號）．
三、解答題：本大題共6個小題．滿分70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．請將解答過程寫在答題紙的相應位置．
17．（本小題10分）已知向量
＝(1＋cosB，sinB)且與向量
=（0，1）所成的角為
，其中A、B、C為ΔABC的三個內角。
（1）求角B的大小；（2）若AC＝
，求ΔABC周長的最大值。
18．（本小題12分）四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=
，∠ACB=90°。
（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）求二面角D-PC-A的大小的正切值；
（3）求點B到平面PCD的距離。
19．（本小題12分）袋中有形狀大小完全相同的8個小球，其中紅球5個，白球3個。某人逐個從袋中取球，第一次取出一個小球，記下顏色后放回袋中；第二次取出一個小球，記下顏色后，不放回袋中，第三次取出一個小球，記下顏色后，放回袋中，第四次取出一個小球，記下顏色后不放回袋中……，如此進行下去，直到摸完球為止。
（1）求第四次恰好摸到紅球的概率；
（2）記ξ為前三次摸到紅球的個數，寫出其分布列，并求其期望Eξ。
20.（本小題滿分12分）
已知數列
滿足
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）若數列
滿足
，證明：
是等差數列；
（Ⅲ）證明：
21．(本小題滿分12分)已知雙曲線
的離心率
，過點
和
的直線與原點間的距離為
（Ⅰ）求雙曲線方程；
（Ⅱ）直線
與雙曲線交于不同的兩點
，且兩點都在以
為圓心的同一個圓上，求
的取值范圍.
22．（本小題12分）已知函數f(x)＝ax3＋
x2－2x＋c，過點
，且在（－2，1）內單調遞減，在[1，
上單調遞增。
（1）證明sinθ=1，并求f(x)的解析式。
（2）若對于任意的x1，x2∈[m，m＋3]（m≥0），不等式|f(x1)－f(x2)|≤
恒成立。試問這樣的m是否存在，若存在，請求出m的范圍，若不存在，說明理由。
（3）已知數列{an}中，a1∈
，an＋1＝f(an)，求證：an＋1>8?lnan（n∈N*）。
一、選擇題：
1．D 2．A 3 B 4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B 11.A 12.B
二、填空題：
13．12 14．
15 3 16．，①②③④
三、解答題：
17．解：法（1）：①∵
=(1+cosB，sinB)與
=（0，1）所成的角為
∴與向量
=（1，0）所成的角為
∴
，即
（2分）
而B∈（0，π），∴
，∴
，∴B=。 （4分）
②令AB=c，BC=a，AC=b
∵B=，∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=
，∵a，c>0。
（6分）
∴a2+c2≥
，ac≤
（當且僅當a=c時等號成立）
∴12=a2+c2-ac≥
（8分）
∴(a+c)2≤48，∴a+c≤
，∴a+b+c≤+
=
（當且僅當a=c時取等號）
故ΔABC的周長的最大值為。 （10分）
法2：（1）cos<，>=cos
∴
， （2分）
即2cos2B+cosB-1=0，∴cosB=
或cosB=-1（舍），而B∈（0，π），∴B= （4分）
（2）令AB=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周長為
，則=a+c+
而a=b?
，c=b?
（2分）
∴=
=
=
（8分）
∵A∈（0，
），∴A-
，
當且僅當A=時，
。
（10分）
18．解法一：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC
平面AC，∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC
（2）∵AB∥CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD=1
∴ΔADC為等邊三角形，且AC=1，取AC的中點O，則DO⊥AC，又PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC，過O作OH⊥PC，垂足為H，連DH
由三垂成定理知DH⊥PC，∴∠DHO為二面角D-PC-A的平面角
由OH=
，DO=
，∴tan∠DHO=
=2
∴二面角D-PC-A的大小的正切值為2。
（3）設點B到平面PCD的距離為d，又AB∥平面PCD
∴VA-PCD=VP-ACD，即
∴
即點B到平面PCD的距離為
。
19．解：（1）第一和第三次取球對第四次無影響，計第四次摸紅球為事件A
①第二次摸紅球，則第四次摸球時袋中有4紅球概率為
（2分）
②第二次摸白球，則第四次摸球時袋中有5紅2白，摸紅球概率為
（3分）
∴P(A)=
，即第四次恰好摸到紅球的概率為
。（6分）（注：無文字說明扣一分）
（2）由題設可知ξ的所有可能取值為：ξ=0，1，2，3。P（ξ=0）=
；
P（ξ=1）=
；P（ξ=2）=
；
P（ξ=3）=
。故隨機變量ξ的分布列為：
ξ
0
1
2
（個），故Eξ=
（個） （1
，
是首項為2，公比為2的等比數列。
，
…………………………………………4分
，
①
②
，即
③
④
，即
是等差數列……………………9分
………………………………11分
，則
，
.
，又
，
.∴雙曲線方程為
.
，∴|AC|=|AD|，∴AM⊥CD.
，整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，且
.
， 
，
∴
，∴AM⊥CD.
，整理得
，
且k2>0，，代入
中得
.
.
(x)=3ax2+sinθx-2
即
∴sinθ=1。（2分）
，∴f(x)=
，而又由f(1)=
得，c=
即為所求。 （4分）
=3m2+12m+
得-5≤m≤1。這與條件矛盾故舍。 （6分）
=3(m+2)2-
>0（0≤m≤1），∴f(x)max=f(m+3)
恒成立
，∴a2∈
，故a2>2
=
(x)<0，x∈（2，+∞）時，
時為增函數。