題目列表(包括答案和解析)
在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD＝
．
(Ⅰ) 證明：BD⊥平面PAC；
(Ⅱ) 若二面角A－PC－D的大小為60°，求AP的值．
 |
四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，PA＝
，∠ACB＝90°．
(Ⅰ)求證：BC⊥平面PAC；
(Ⅱ)求二面角D－PC－A的大��；
(Ⅲ)求點B到平面PCD的距離．
，∠ACB=90°．
一、選擇題：
1．D 2．A 3 B 4．D 5．A 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B 11.A 12.B
二、填空題：
13．12 14．
15 3 16．，①②③④
三、解答題：
17．解：法（1）：①∵
=(1+cosB，sinB)與
=（0，1）所成的角為
∴與向量
=（1，0）所成的角為
∴
，即
（2分）
而B∈（0，π），∴
，∴
，∴B=。 （4分）
②令AB=c，BC=a，AC=b
∵B=，∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=
，∵a，c>0。
（6分）
∴a2+c2≥
，ac≤
（當且僅當a=c時等號成立）
∴12=a2+c2-ac≥
（8分）
∴(a+c)2≤48，∴a+c≤
，∴a+b+c≤+
=
（當且僅當a=c時取等號）
故ΔABC的周長的最大值為。 （10分）
法2：（1）cos<，>=cos
∴
， （2分）
即2cos2B+cosB-1=0，∴cosB=
或cosB=-1（舍），而B∈（0，π），∴B= （4分）
（2）令AB=c，BC=a，AC=b，ΔABC的周長為
，則=a+c+
而a=b?
，c=b?
（2分）
∴=
=
=
（8分）
∵A∈（0，
），∴A-
，
當且僅當A=時，
。
（10分）
18．解法一：（1）∵PA⊥底面ABCD，BC
平面AC，∴PA⊥BC
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC
（2）∵AB∥CD，∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，又AD=CD=1
∴ΔADC為等邊三角形，且AC=1，取AC的中點O，則DO⊥AC，又PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥DO，∴DO⊥平面PAC，過O作OH⊥PC，垂足為H，連DH
由三垂成定理知DH⊥PC，∴∠DHO為二面角D-PC-A的平面角
由OH=
，DO=
，∴tan∠DHO=
=2
∴二面角D-PC-A的大小的正切值為2。
（3）設點B到平面PCD的距離為d，又AB∥平面PCD
∴VA-PCD=VP-ACD，即
∴
即點B到平面PCD的距離為
。
19．解：（1）第一和第三次取球對第四次無影響，計第四次摸紅球為事件A
①第二次摸紅球，則第四次摸球時袋中有4紅球概率為
（2分）
②第二次摸白球，則第四次摸球時袋中有5紅2白，摸紅球概率為
（3分）
∴P(A)=
，即第四次恰好摸到紅球的概率為
。（6分）（注：無文字說明扣一分）
（2）由題設可知ξ的所有可能取值為：ξ=0，1，2，3。P（ξ=0）=
；
P（ξ=1）=
；P（ξ=2）=
；
P（ξ=3）=
。故隨機變量ξ的分布列為：
ξ
0
1
2
（個），故Eξ=
（個） （1
，
是首項為2，公比為2的等比數列。
，
…………………………………………4分
，
①
②
，即
③
④
，即
是等差數列……………………9分
………………………………11分
，則
，
.
，又
，
.∴雙曲線方程為
.
，∴|AC|=|AD|，∴AM⊥CD.
，整理得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，且
.
， 
，
∴
，∴AM⊥CD.
，整理得
，
且k2>0，，代入
中得
.
.
(x)=3ax2+sinθx-2
即
∴sinθ=1。（2分）
，∴f(x)=
，而又由f(1)=
得，c=
即為所求。 （4分）
=3m2+12m+
得-5≤m≤1。這與條件矛盾故舍。 （6分）
=3(m+2)2-
>0（0≤m≤1），∴f(x)max=f(m+3)
恒成立
，∴a2∈
，故a2>2
=
(x)<0，x∈（2，+∞）時，
時為增函數。