Question

為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設想：取一個與水平方向夾角為37°、長為l=2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除 AB 段以外都是光滑的．其AB 與BC 軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個小物塊以初速度v₀=4.0m/s從某一高處水平拋出，到A點時速度方向恰好沿 AB 方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動摩擦因數 μ=0.50．（g=10m/s²、sin37°=0.60、cos37°=0.80）
（1）求小物塊到達A點時速度．
（2）要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應該滿足什么條件？
（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道 AB，則豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）由題意可知物體平拋運動過程的末速度方向，則由運動的合成與分解可求得合速度；
（2）物體能通過最高點，則應保證重力充當向心力，由臨界條件可求得最高點的速度，則由動能定理可求得圓弧半徑的條件；
（3）要使物體能回到AB段中，小球應無法通過最高點，則由動能定理可求得臨界半徑，則可求得豎直圓軌道的半徑條件．

解答：解：（1）小物塊做平拋運動，
經時間 t 到達A處時，
令下落的高度為h，
水平分速度v₀，
豎直速度為v_y，
小物塊恰好沿斜面AB方向滑下，
則tan37°=

vy

v0

得v_y=3 m/s，
所以小物塊到A點的速度為5m/s．
（2）物體落在斜面上后，
受到斜面的摩擦力
F _f=μF_N=μmgcos37°
設物塊進入圓軌道到達最高點時有最小速度v₁，
此時物塊受到的重力恰好提供向心力，
令此時的半徑為 R₀，
則mg=

mv12

R0

物塊從拋出到圓軌道最高點的過程中，
根據動能定理有：
mg（h+lsin37°-2R₀）-μmgcos37°?l=

1

2

mv₁²-

1

2

mv₀²．
聯立上式，
解得R₀=0.66m，
若物塊從水平軌道DE滑出，
圓弧軌道的半徑滿足 
R₁≤0.66m．
（3）為了讓小物塊不離開軌道，
并且能夠滑回傾斜軌道 AB，
則物塊上升的高度須小于或等于某個值R，
則 mg（h+lsin37°）-μmgcos37°?l-mgR=0-

1

2

mv₀²
解得R=1.65m
物塊能夠滑回傾斜軌道 AB，
則 R₂≥1.65m．

點評：本題考查豎直面內的圓周運動的臨界條件及動能定理的應用，要求學生能明確本題的物理過程，并能分段應用所學物理規律求解；同時注意對題意的把握．