Question

為了研究過山車的原理，物理小組提出了下面的設想：取一個與水平方向夾角為37°、長為L=2.0m的粗糙的傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個物塊以初速度v₀=4.0m/s，從某一高處水平拋出，到A點時速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道間的動摩擦因數μ=0.50．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）要使小物塊不離開軌道，并從水平軌道DE滑出，求豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？
（2）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？
（3）若按照（2）的要求，小物塊進入軌道后可以有多少次通過圓軌道上距水平軌道高為0．O1m的某一點？

Answer 1

分析：（1）通過平拋運動的規律求出小物塊到達A處時下落的高度，根據牛頓第二定律求出小物塊在最高點的最小速度，通過全過程運用動能定理求出豎直圓軌道的半徑應該滿足的條件．
（2）為了讓物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則物塊上升的高度須小于或等于R₀′，則根據動能定理求出豎直軌道的半徑應該滿足的條件．
（3）根據動能定理求出再次進入圓軌道到達的高度和第一次沖上圓軌道的高度關系，得出上升n次后高度的通項式，從而得出小物塊進入軌道后可以有多少次通過圓軌道上距水平軌道高為0．O1m的某一點．

解答：解：（1）物體做平拋運動，到達A處時，令下落的高度為h，水平分速度為v_x，豎直分速度為v_y，則由平拋運動的規律可知：
tan37°=

vy

vx

，v_x=v₀，vy2=2gh
物體落在斜面上后，受到斜面的摩擦力f=μN=μmgcos37°．
設物塊進入圓軌道到最高點時有最小速度v₁，此時物塊受到的重力恰好提供向心力了，令軌道的軌道半徑為R₀．由牛頓第二定律知，
mg=m

v12

R0

物塊從拋出到圓軌道最高點的過程中，由動能定理知：mg（h+Lsin37°）-μmgcos37°?L-2mgR0=

1

2

mv12-

1

2

mv02
聯立上面各式解得R₀=0.66m．
若物塊從水平軌道DE滑出，則豎直圓軌道的半徑R₁≤0.66m．
（2）為了讓物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則物塊上升的高度須小于或等于R₀′，則根據動能定理得，
mg(h+Lsin37°)-μmgcos37°?L-mgR0′=0-

1

2

mv02
解得R₀′=1.65m．
若物塊能夠滑回傾斜軌道AB，則R₂≥1.65m．
（3）若物塊沖上圓軌道H₁=1.65m高度時速度變為0，然后又返回傾斜軌道h₁高處再滑下，然后再次進入圓軌道達到的高度為H₂，則有：
mgH1=mgh1+μmgh1?

4

3

mgH2=mgh1-μmgh1?

4

3

解得H2=

1- 4 3 μ

4

H1=

1

5

H1．
之后物塊在豎直圓軌道和傾斜軌道之間往復運動，同理，n次上升的高度Hn=(

1

5

)n-1H1（n＞0）為一等比數列．
可見當n=5時，上升的最大高度小于0.01m，則物塊共有8次通過圓軌道上距水平軌道高為0.01m的某一點．
答：（1）豎直圓軌道的半徑應該滿足R₁≤0.66m．
（2）豎直圓軌道的半徑應該滿足R₂≥1.65m．
（3）小物塊進入軌道后可以有8次通過圓軌道上距水平軌道高為0．O1m的某一點．

點評：本題綜合考查了動能定理和牛頓第二定律，涉及到平拋運動，直線運動和圓周運動，綜合性較強，對學生的能力要求較高，需加強這方面的訓練．