Question

（2011?淮南一模）為了研究過山車的原理，物理小組提出了下列的設想：取一個與水平方向夾角為37°、長為L=2.0m的粗糙的傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個小物塊以初速度v₀=4.0m/s，從某一高處水平拋出，到A點時速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動摩擦因數μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小物塊的拋出點和A點的高度差；
（2）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件．
（3）要使小物塊不離開軌道，并從水平軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應該滿足什么條件．

Answer 1

分析：（1）從拋出點到A點做平拋運動，根據平拋運動的規律可解得落到A點時豎直方向的速度v_y與h的關系，根據豎直方向速度v_y與水平方向速度v_x的夾角之間的關系，可以解得h．
（2）要使小物塊不離開軌道并且能夠滑回傾斜軌道AB，則小物體沿圓軌道上升的最大高度不能超過圓心，結合動能定律列式求解．
（3）現根據第一問中求得到達A的速度，從A到B運用動能定理列方程，從B到環的最高點運用機械能守恒列方程，再根據到達最高點的臨界條件m

v 2 P

R

≥mg，聯立方程組求解R．

解答：解：（1）設從拋出點到A點的高度差為h，根據平拋運動的規律有：

v

2 y

=2gh
解得vy=

2gh

且 

vy

v0

=tan37°
代入數據解得h=0.45m  
（2）要使小物塊不離開軌道并且能夠滑回傾斜軌道AB，則小物體沿圓軌道上升的最大高度不能超過圓心，即：

1

2

m

v

2 B

≤mgR′
解得R′≥1.65m 
（3）小物體到達A點時的速度：vA=

v 2 0 + v 2 y

從A到B，由動能定理：
mgLsin37°-μmgcos37°×L=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

小物體從B到環最高點機械能守恒：

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 P

+mg×2R
在最高點有：m

v 2 P

R

≥mg
由④⑤⑥⑦解得 R≤0.66m．
答：（1）小物塊的拋出點和A點的高度差為0.45m；
（2）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道AB，則豎直圓軌道的半徑應大于等于1.65m．
（3）要使小物塊不離開軌道，并從水平軌道DE滑出，則豎直圓弧軌道的半徑應小于等于0.66m．

點評：此題要求熟練掌握平拋運動、動能定理、機械能守恒定律、圓周運動等規律，包含知識點多，難度較大，屬于難題．