Question

如圖所示，水平傳送帶AB的右端與在豎直面內的用內徑光滑的鋼管彎成的“9”形固定軌道相接，鋼管內徑很小．傳送帶的運行速度v₀=4.0m/s，將質量m=1kg的可看做質點的滑塊無初速地放在傳送帶的A端．已知傳送帶長度L=4.0m，離地高度h=0.4m，“9”字全髙H=0.6m，“9”字上半部分圓弧半徑R=0.1m，滑塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.2，重力加速度g=10m/s²，試求：
（1）滑塊從傳送帶A端運動到B端所需要的時間．
（2）電動機由于傳送滑塊而多消耗的電能為
（3）滑塊滑到軌道最高點C時對軌道作用力的大小和方向．
（4）滑塊從D點拋出后的水平射程．

Answer 1

分析：（1）滑塊放在傳送帶上，開始階段做勻加速運動，由牛頓第二定律求出加速度，由速度公式求出滑塊加速到與傳送帶相同所需要的時間，由位移公式求出加速過程的位移，判斷滑塊是否到達B點．若沒有到達B點，之后滑塊做勻速直線運動，再求出勻速運動的時間．
（2）傳送滑塊的過程中，滑塊獲得了動能，系統摩擦生熱，根據能量守恒求解電動機由于傳送滑塊而多消耗的電能．
（3）滑塊由B到C的過程中只有重力做功，其機械能守恒，求出滑塊到達最高點時的速度．到達最高時，由重力和軌道對滑塊的壓力提供滑塊的向心力，由牛頓第二、三定律求解滑塊滑到軌道最高點C時對軌道作用力的大小和方向．
（4）滑塊從C到D的過程中機械能守恒，求出滑塊到D點時的速度．滑塊從D點滑出后做平拋運動，根據運動的分解法求出水平射程．

解答：解：（1）滑塊在傳送帶上加速運動時，由牛頓第二定律得知
  μmg=ma
得a=2m/s²
滑塊加速到與傳送帶速度相同所需時間為 t=

v0

a

=2s
此過程位移s=

1

2

at²=4m
此時物塊恰好到達B端，所以滑塊從A端運動到B端的時間為t=2s．
（2）在傳送滑塊的過程中，摩擦生熱為Q=μmg（v₀t-s）=0.2×10×（4×2-4）J=8J
故電動機由于傳送滑塊而多消耗的電能為
  E=Q+

1

2

m

v

2 0

=8J+

1

2

×1×42J=16J
（3）滑塊由B到C的過程中機械能守恒，則有
  mgH+

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 0

滑塊滑到軌道最高點C時，由牛頓第二定律得
  F_N+mg=m

v 2 C

R

聯立上兩式解得，F_N=30N
根據牛頓第三定律得到，滑塊對軌道作用力的大小F_N′=F_N=30N，方向豎直向上．
（4）滑塊從C到D的過程中機械能守恒，得：mg?2R+

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 D

解得v_D=2m/sD點到水平地面的高度HD=h+（H-2R）=0.8m
由H_D=

1

2

gt′²得，t′=

2HD g

=0.4s
所以水平射程為x=v_Dt′=1.1m
答：
（1）滑塊從傳送帶A端運動到B端所需要的時間是2s．
（2）電動機由于傳送滑塊而多消耗的電能為16J．
（3）滑塊滑到軌道最高點C時對軌道作用力的大小為30N，方向豎直向上．
（4）滑塊從D點拋出后的水平射程是1.1m．

點評：本題按程序進行分析，根據牛頓定律分析運動過程．對于圓周運動，根據機械能守恒和牛頓運動定律結合求力是常用的方法．