Question

如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上端系著一勁度系數為k的輕彈簧，彈簧的下端連有一質量為m的小球．球被一垂直于斜面的擋板A擋住，此時彈簧沒有形變．若手持擋板A以加速度a（a＜＜gsinθ）沿斜面向下做勻加速運動．
求：（1）從擋板開始運動到球與擋板分離所經歷的時間t
（2）從擋板開始運動到小球的速度達到最大，球所經過的路程．

Answer 1

分析：（1）從開始運動到小球與擋板分離的過程中，擋板A始終以加速度a勻加速運動，小球與擋板剛分離時，相互間的彈力為零，由牛頓第二定律和胡克定律結合求得小球的位移，由擋板運動的位移可以求得物體運動的時間．
（2）對球受力分析可知，當球受力平衡時，速度最大，此時彈簧的彈力與物體重力沿斜面的分力相等，由胡克定律和平衡條件即可求得路程．

解答：解：（1）設球與擋板分離時位移為s，經歷的時間為t，
從開始運動到分離的過程中，m受豎直向下的重力，垂直斜面向上的支持力F_N，沿斜面向上的擋板支持力F₁和彈簧彈力F．
根據牛頓第二定律有 mgsinθ-F-F₁=ma，
    F=kx．
隨著x的增大，F增大，F₁減小，保持a不變，
當m與擋板分離時，F₁減小到零，則有：
mgsinθ-kx=ma，
又x=

1

2

at²
聯立解得 mgsinθ-k?

1

2

at²=ma，
所以經歷的時間為 t=

2m(gsinθ-a) ka

．
（2）球和擋板分離后做加速度減小的加速運動，當加速度為零時，速度最大，此時物體所受合力為零．
即 kx_m=mgsinθ，
解得 x_m=

mgsinθ

k

．
所以速度最大時運動的路程為

mgsinθ

k

．
答：（1）從擋板開始運動到球與擋板分離所經歷的時間t是

2m(gsinθ-a) ka

．
（2）從擋板開始運動到小球的速度達到最大，球所經過的路程是

mgsinθ

k

．

點評：在擋板運動的過程中，擋板對球的支持力的大小是在不斷減小的，從而可以使球和擋板一起以恒定的加速度運動，在運動的過程中物體的受力在變化，但是物體的運動狀態不變，從而可以求得物體運動的位移和運動的時間．