Question

（2009?江蘇模擬）如圖甲所示，空間存在豎直向下的磁感應強度為0.6T的勻強磁場，MN、PQ是相互平行的、處于同一水平面內的長直導軌（電阻不計），導軌間距為0.2m，連在導軌一端的電阻為R．導體棒ab的電阻為0.1Ω，質量為0.3kg，跨接在導軌上，與導軌間的動摩擦因數為0.1．從零時刻開始，通過一小型電動機對ab棒施加一個牽引力F，方向水平向左，使其從靜止開始沿導軌做加速運動，此過程中棒始終保持與導軌垂直且接觸良好．圖乙是棒的速度--時間圖象，其中OA段是直線，AC是曲線，DE是曲線圖象的漸近線，小型電動機在10s末達到額定功率，此后功率保持不變．g取10m/s²．求：
（1）在0--18s內導體棒獲得加速度的最大值；
（2）電阻R的阻值和小型電動機的額定功率；
（3）若已知0--10s內R上產生的熱量為3.1J，則此過程中牽引力做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）乙圖是速度時間圖象，其斜率等于加速度，可知：導體棒在0-10s內加速度最大．求出圖線的斜率就得到加速度．
（2）乙圖中A點：由E=BLv、I=

E

R+r

、F=BIL三個公式推導出安培力的表達式，由牛頓第二定律得到含μ和R的表達式；圖中C點：導體棒做勻速運動，由平衡條件再得到含μ和R的表達式，聯立求出R．小型電動機的額定功率P_m=F?v_m．
（3）由圖象的“面積”求出0-10s內導體棒發生的位移，0-17s內共發生位移100m，求出AC段過程發生的位移，根據R上產生的熱量，由串聯關系求出導體棒產生的熱量，再根據功能關系求牽引力做的功．

解答：解：（1）由圖中可得：10s末的速度為v₁=4m/s，t₁=10s
導體棒在0-10s內的加速度為最大值，am=

v1-0

t1

=

4

10

=0.4m/s²     
（2）設小型電動機的額定功率為P_m
在A點：E₁=BLv₁    I1=

E1

R+r

由牛頓第二定律：F₁-μmg-BI₁L=ma₁                                       
又 P_m=F₁?v₁                                                       
當棒達到最大速度v_m=5m/s時，E_m=BLv_m I_m=

Em

R+r

由金屬棒的平衡得：F₂-μmg-BI_mL=0                                      
又P_m=F₂?v_m                                                       
聯立解得：P_m=2W，R=0.62Ω                                                
（3）在0-10s內：t₁=10s
通過的位移：s1=

1

2

(0+v1)t1=20m                                  
導體棒產生的熱量  Qr=

0.1

0.62

QR=0.5J
由能量守恒：WF=QR+Qr+μmg?s1+

1

2

m

v

2 1

代入得：此過程牽引力做的功WF=3.1+0.5+0.1×0.3×10×20+

1

2

×0.3×42=12J
答：
（1）在0--18s內導體棒獲得加速度的最大值是0.4m/s²；
（2）電阻R的阻值是0.62Ω，小型電動機的額定功率是2W；
（3）若已知0--10s內R上產生的熱量為3.1J，則此過程中牽引力做的功為12J．

點評：本題與汽車勻加速起動類似，關鍵會推導安培力的表達式，根據平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒結合進行求解．