Question

如圖所示，粗細均勻的玻璃管，當溫度為27℃時，封閉在管內的空氣柱AB長為30cm，BC長為10cm，管內水銀柱水平部分CD長為18cm，豎直部分DE長為15cm，外界大氣壓強為75cmHg，問：要使水平管內沒有水銀柱，溫度至少要升高到多少℃？
現有某同學的解法如下：
以ABC管中的氣體為研究對象，各狀態參量如下：p₁=（75-15）cmHg=60cmHgV₁=（30+10）cm?S=40cm?S（式中S為玻璃管的橫截面）T₁=300K．要使水平管內沒有水銀柱，則氣體膨脹到D處，這時氣體的狀態參量如下：p₂=（75-15-18）cmHg=42cmHgV₂=（30+10+18）cm?S=58cm?S（式中S為玻璃管的橫截面）T₂=？
因為

p1V1

T1

=

p2V2

T2

，將上述各已知量代入，可求得T₂=304.5K，t₂=31.5℃
所以要使水平管內沒有水銀柱，溫度至少要升高到31.5℃
已知上述計算無誤，請問該同學求得的結果是否正確？倘若有錯，請求出正確結果．

Answer 1

分析：該同學求得的結果有錯．根據氣態方程

pV

T

=c，溫度T與pV成正比，當溫度升高到T₂時，水平玻璃管右端還有xcm長的水銀柱，根據氣態方程得到T₂與x的關系式，再運用數學知識求出T₂的最大值，畫出T-x圖象進行分析．

解答：解：該同學求得的結果有錯．
設當溫度升高到T₂時，水平玻璃管右端還有xcm長的水銀柱，則有
 p₂=75-（18+15-x）=（42+x）cmHg（2分），V₂=（30+28-x）S=（58-x）cm?S
由

p1V1

T1

=

p2V2

T2

，得

60×40

300

=

(42+x)(58-x)

T2

T2=-0.125x2+2x+304.5
可求得，當x=8cm時，T₂有最大值312.5K（1分），即39.5℃．
畫出T₂隨x變化的大致圖象（如圖所示）：從圖象中不難發現，當玻璃管中氣體的溫度逐漸升高時x從18cm起逐漸減小，當氣體溫度升高到304.5K時x并不為零，只要氣體溫度不超過312.5K（39.5℃），水平管中總有水銀柱，所以要使水平管內沒有水銀柱，溫度至少要升高到39.5℃．
答：該同學求得的結果有錯，正確的結果是溫度至少要升高到39.5℃．

點評：本題關鍵要運用數學知識求T₂的最大值，作出T-x圖象，結合氣態方程進行分析．