Question

如圖甲所示，水平放置的兩平行金屬板的板長l不超過0.2m，OO′為兩金屬板的中線．在金屬板的右側有一區域足夠大的勻強磁場，其豎直左邊界MN與OO′垂直，磁感應強度的大小B=0.010T，方向垂直于紙面向里．兩金屬板間的電壓U隨時間t變化的規律如圖乙所示，現有帶正電的粒子連續不斷地以速度v₀=1×10⁵m/s，沿兩金屬板的中線射入電場中．已知帶電粒子的荷質比

q

m

=1×108C/kg，粒子所受重力和粒子間的庫侖力忽略不計，不考慮粒子高速運動的相對論效應．在每個粒子通過電場區域的時間內可以認為兩金屬板間的電場強度是不變的．
（1）在t=0.1s時刻射入電場的帶電粒子恰能從平行金屬板邊緣射出，求該粒子射出電場時速度的大小；
（2）對于所有經過電場射入磁場的帶電粒子，設其射入磁場和射出磁場兩點間的距離為d，請你證明d是一個不變量．
（3）請你通過必要的計算說明：為什么在每個粒子通過電場區域的時間內，可以認為兩金屬板間的電場強度是不變的．

Answer 1

分析：（1）在t=0.1s時刻，兩金屬板間的電壓U=100V，電場力做功W=q?

1

2

U，根據動能定理求解粒子射出電場時速度的大小；
（2）根據運動的分解得粒子射出電場時速度與初速度的關系式．粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，由牛頓定律求出半徑，由幾何關系證明d是不變量．
（3）粒子在電場中水平方向做勻速直線運動，由板長與初速度求出運動時間，與周期進行比較，說明兩金屬板間的電場強度是不變的．

解答：解：
（1）在t=0.1s時刻，兩金屬板間的電壓U=100V，設粒子射出電場時的速度大小為v₁，根據動能定理有
     q?

1

2

U=

1

2

mv12-

1

2

mv02
解得      v₁≈1.4×10⁵m/s                       
（2）帶電粒子射入磁場后的軌跡如右圖所示．設粒子射入磁場時的速度為v₂，v₂與v₀的夾角為θ，則v2=

v0

cosθ

    ①
設粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，根據牛頓第二定律有
      qv2B=

m v 2 2

R

②
由①②式可求得R=

mv0

qBcosθ

則由幾何關系可求得d=2Rcosθ=

2mv0

qB

因為

m

q

、v₀、B均為常量，所以d是一個不變量．      
（3）帶電粒子在金屬板間的運動時間t=

l

v0

≤2×10^-6s
設金屬板間電壓的變化周期為T，T=0.2s，t＜＜T
所以在每個粒子通過電場區域的時間內可以認為兩極板間的電壓是不變的，若兩極板間的距離為L，兩金屬板間的電場強度E=

U

L

因為U、L均不變，所以可以認為電場強度是不變的． 
答：（1）粒子射出電場時速度的大小是1.4×10⁵m/s；
    （2）d是一個不變量，證明見上．
    （3）證明見上．

點評：本題是組合場問題，綜合應用動能定理、牛頓運動定律、運動學知識以及幾何知識，中等難度．