Question

如圖甲所示，水平放置的平行金屬板A和B的距離為d，它們的右端安放著垂直于金屬板的靶MN，現(xiàn)在A、B板上加上如圖乙所示的方波形電壓，電壓的正向值為U₀，反向電壓值為

U0

2

，且每隔

T

2

變向1次．現(xiàn)將質(zhì)量為m的帶正電，且電荷量為q的粒子束從AB的中點(diǎn)O以平行于金屬板的方向OO′射入，設(shè)粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B間的飛行時(shí)間均為T．不計(jì)重力的影響，試問：
（1）定性分析在t=0時(shí)刻從O點(diǎn)進(jìn)入的粒子，在垂直于金屬板的方向上的運(yùn)動(dòng)情況．
（2）在距靶MN的中心O′點(diǎn)多遠(yuǎn)的范圍內(nèi)有粒子擊中？
（3）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數(shù)值應(yīng)滿足什么條件？（寫出U₀、m、d、q、T的關(guān)系式即可）

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向在電場(chǎng)力的作用下先向下勻加速，再向下減速運(yùn)動(dòng)．
（2）當(dāng)粒子在0，T，2T，…nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中時(shí)，粒子將打在O′點(diǎn)下方最遠(yuǎn)點(diǎn)，粒子在豎直方向先向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由位移公式分別求出前

T

2

時(shí)間內(nèi)和后

T

2

時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直方向的位移，再粒子打在距O′點(diǎn)正下方的最大位移．當(dāng)粒子在

T

2

、

3

2

T，…（2n+1）

T

2

時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，將打在O′點(diǎn)上方最遠(yuǎn)點(diǎn)．粒子在豎直方向先向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)．同理求出粒子打在距O′點(diǎn)正上方的最大位移．
（3）要使粒子能全部打在靶上，粒子在豎直方向距O′點(diǎn)的最大位移小于

d

2

．代入（2）問的結(jié)論，求解電壓U₀的數(shù)值應(yīng)滿足的條件．

解答：解：（1）在t=0時(shí)刻從O點(diǎn)進(jìn)入的粒子，所受的電場(chǎng)力先向下后向上，則粒子先向下勻加速運(yùn)動(dòng)，再向下勻減速運(yùn)動(dòng)．
（2）當(dāng)粒子在0，T，2T，…nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中時(shí)，粒子將打在O′點(diǎn)下方最遠(yuǎn)點(diǎn)，離O′最遠(yuǎn)距離為：
    y_max=

1

2

?

qU0

md

?（

T

2

）²+

1

2

（

qU0

md

?

T

2

+

qU0

2md

?

T

2

）?

T

2

=

5qU0T2

16md

．
當(dāng)粒子在

T

2

、

3

2

T，…（2n+1）

T

2

時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，將打在O′點(diǎn)上方最遠(yuǎn)點(diǎn)．
   y_min=

1

2

?

qU0

2md

?（

T

2

）²=

qU0T2

16md

．
所以在距靶MN的中心O′點(diǎn)

5qU0T2

16md

到

qU0T2

16md

有粒子擊中．
（3）要使粒子能全部打在靶上，必須滿足

5qU0T2

16md

＜

d

2

，
解得：U₀＜

8md2

5qT2

．
答：
（1）在t=0時(shí)刻從O點(diǎn)進(jìn)入的粒子，先向下勻加速運(yùn)動(dòng)，再向下勻減速運(yùn)動(dòng)．
（2）在距靶MN的中心O′點(diǎn)

5qU0T2

16md

到

qU0T2

16md

有粒子擊中．
（3）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數(shù)值應(yīng)滿足U₀＜

8md2

5qT2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是粒子在周期性變化的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵．結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．