Question

如圖所示，在xoy平面內的第一象限有一以PQ為邊界、沿y軸負向的勻強電場E，在第四象限有垂直于xoy平面的勻強磁場B．某時有質量和電荷量均為m、q的正粒子a、b同時從P點以垂直于y軸的速度進入電場，速度大小分別為v₀、2v₀，b粒子從Q點進入磁場．  P、Q的坐標分別是（0，l）、（2l，0）．不計重力，不考慮粒子間的相互作用和可能發生的碰撞．
（1）求電場強度E的大小
（2）調節磁感應強度B使粒子b首次在磁場中運動的時間跟在電場中運動的時間相等，設這一時間為T_O，求T_O及對應的磁感應強度B
（3）在保持上述磁感應強度不變的情況下，求當a、b中的一個粒子第二次到達x軸時另一粒子的y坐標，最終表達式的系數保留一位小數即可（半角公式cos

a

2

=

1+cosa 2

）

Answer 1

分析：（1）根據b粒子在電場中做類平拋運動，由已知PQ點坐標，即知水平豎直方向的位移，根據平拋運動規律即可求解；
（2）首次在磁場中運動的時間跟在電場中運動的時間相等，利用在電場中的類平拋運動即可求解，進入磁場做勻速圓周運動，畫出軌跡，找出圓心角，根據洛倫茲力提供向心力即可求出B；
（3）利用類平拋運動的推論速度偏轉角的正切值是位移偏轉角正切值的2倍，即tanθ=2tanα即可求出a粒子在電場中的運動時間，出電場后未進入磁場做勻速直線運動，也可求出其時間，比較兩時間可知，b粒子比a粒子早進入磁場，從而便知誰先第二次達到x軸，利用幾何關系即可求出坐標．

解答：解：（1）以b為對象可知，由題意可得：
水平方向：x=2v₀t      ①
豎直方向：y=

qE

2m

t2     ②
由  x=2l   y=l，①②聯立得：E=

2mv02

ql

（2）由題意得  T₀=t     ③
①③聯立得：T0=

l

v0

   ③
粒子b進入磁場時與x軸夾角為θ，PQ與x軸的夾角為α，則tanθ=2tanα=

2×l

2l

=1
即θ=45⁰，運動軌跡為

1

4

圓周，設圓周運動周期為T，則T=4T_{0 ④}
由洛倫茲力提供向心力得：Bqv=m

v2

r

T=

2πR

v

得T=

2πm

Bq

      ⑤
③④⑤聯立得：B=

4lq

2πmv0

（3）由（2）b粒子離開電場時速度方向與x軸夾角θ為45⁰
由tan45°=

vy

vx

=

gt

v0

可得
a粒子在電場中運動時間：ta1=

v0

g

=

1t

2

=

l

2v0

a粒子離開電場運動到x軸的時間：ta2=

3l

4v0

a粒子從P點運動到x軸的時間：ta=ta1+ta2=

5l

4v0

=

5

4

T0
故：a粒子比b粒子晚進入磁場的時間：△t=

1

4

T0
b粒子離開磁場到達x軸時，a在磁場中運動了

3

4

T0，即到達圖中的R點
a進入磁場的速度va=

2

v0（1分）
由qvB=m

v2

r

得：（1分）
ra=

mva

qB

=

2 2 l

π

R的y坐標為：y=r_a（cos45°-cos22.5⁰）=-0.2l（1分）
答：（1）電場強度E的大小為E=

2mv02

ql

（2）調節磁感應強度B使粒子b首次在磁場中運動的時間跟在電場中運動的時間相等，T_O為T0=

l

v0

對應的磁感應強度B=

4lq

2πmv0

（3）在保持上述磁感應強度不變的情況下，當a、b中的一個粒子第二次到達x軸時另一粒子的y坐標為-0.2l．

點評：本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，粒子垂直射入電場，在電場中偏轉做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，要求同學們能畫出粒子運動的軌跡，結合幾何關系求解，知道半徑公式及周期公式，難度適中．