Question

如圖所示，在xOy平面上，一個(gè)以原點(diǎn)O為圓心，半徑為4R的原型磁場區(qū)域內(nèi)存在著勻強(qiáng)磁場，磁場的方向垂直于紙面向里，在坐標(biāo)（-2R，0）的A處靜止著一個(gè)具有放射性的原子核氮₇¹³N．某時(shí)刻該核發(fā)生衰變，放出一個(gè)正電子和一個(gè)反沖核，已知正電子從A處射出時(shí)速度方向垂直于x軸，且后來通過了y軸，而反沖核剛好不離開磁場區(qū)域．不計(jì)重力影響和離子間的相互作用．
（1）寫出衰變方程．
（2）求正電子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（3）求正電子最后過y軸時(shí)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）原子核發(fā)生變化時(shí)，一定滿足質(zhì)量數(shù)守恒及電荷數(shù)守恒；
（2）由題意可知兩核的運(yùn)動(dòng)情景及反沖核的半徑，由動(dòng)量守恒可知兩核的動(dòng)量關(guān)系，則可得出電子的半徑；
（3）畫出兩電核的運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系可知最后過y軸的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由質(zhì)量守恒及電荷守恒可知衰變方程為 ₇¹³N→₆¹³C+₊₁⁰e；
（2）設(shè)反沖核和正電子在磁場中回旋半徑分別為r₁、r₂，由于反沖核與正電子都帶正電荷，在磁場中的軌跡關(guān)系應(yīng)是外切圓，因正電子通過y軸，反沖核速度方向向上，正電子速度方向向下．
故反沖核的半徑r₁=R
衰變過程中遵循動(dòng)量守恒 P_反=P_e
又由于qvB=m

v2

r

可得r=

mv

qB

可得正電子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑 r₁=6R
（3）由圖可知正電子應(yīng)在通過y軸前飛出圓形磁場區(qū)域，設(shè)出射點(diǎn)為P，

其軌跡圓心在磁場邊界與x軸的交點(diǎn)O′處，過P點(diǎn)做出出射速度的反向延長線可交于磁場邊界D點(diǎn)，且D點(diǎn)在x軸上
根據(jù)幾何知識(shí)可得∠DO’P=∠OQD=α 
在直角三角形DO’P中，cosα=

r

8R

=

3

4

，所以tanα=

7

3

OQ=

OD

tanα

=

12 7 R

7

故正電子最后通過y軸的坐標(biāo)為（0，-

12 7 R

7

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了動(dòng)量、帶電粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)及衰變方程等知識(shí)，屬綜合題；解題的重點(diǎn)在于兩粒子在磁場中的偏轉(zhuǎn)及幾何關(guān)系，要求學(xué)生有較高的數(shù)學(xué)功底．