Question

如圖所示，在傾角θ=37°的足夠長的固定斜面底端有一質量m=1.0kg的物體，物體與斜面間動摩擦因數μ=0.25，現用輕細繩將物體由靜止沿斜面向上拉動，拉力F=10N，方向平行斜面向上，經時間t₁=4s繩子突然斷了，求：
（1）繩斷時物體的速度大小；
（2）物體沿斜面向上運動的最大位移；
（3）從繩斷開始直到物體再返回到斜面底端所用的總時間．
（sin37°=0.6，cos37°=0.8，

10

=3.2，g=10m/s²）

Answer 1

分析：（1）分析繩斷前物體的受力情況，根據牛頓第二定律求出加速度，由速度公式求解繩斷時物體的速度大小．
（2）（3）繩斷后，物體先沿斜面向上做勻減速運動，后沿斜面向下做勻加速運動，由牛頓第二定律求出向上減速過程的加速度，由運動學公式求出時間和位移．下滑過程的位移大小等于上滑過程總位移大小，由牛頓定律和位移公式結合求解下滑的時間．

解答：解：（1）物體向上運動過程中，受重力mg，摩擦力F_f，拉力F，設加速度為a₁，則有：
F-mgsinθ-F_f=ma₁
F_N=mgcosθ
又 F_f=μF_N      
得到：F-mgsinθ-μmgcosθ=ma₁
代入解得：a₁=2.0m/s²
所以t=4.0s時物體速度為：v₁=a₁t=2×4=8.0m/s
（2）繩斷后，物體距斜面底端x₁=

1

2

 a1t2=

1

2

×2×16=16m．
斷繩后，設加速度為a₂，由牛頓第二定律得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₂
得：a₂=g（sinθ+μcosθ）=10×（0.6+0.25×0.8）=8.0m/s²
物體做減速運動時間為：t₂=

v1

a2

=

8

8

=1.0s      
減速運動位移為：x₂=

v1 t2

2

=

8×1

2

=4.0m
所以物體沿斜面向上運動的最大位移為：x_m=16+4=20m
（3）此后物體沿斜面勻加速下滑，設加速度為a₃，則有：
mgsinθ-μmgcosθ=ma₃  
得：a₃=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.25×0.8）=4.0m/s²
設下滑時間為t₃，則：x₁+x₂=

1

2

 a3 t33
解得：t₃=

10

s=3.2s
所以有：t_總=t₂+t₃=1+3.2=4.2s
答：（1）繩斷時物體的速度大小是8.0m/s．
（2）（2）物體沿斜面向上運動的最大位移為20m；
（3）從繩子斷了開始到物體再返回到斜面底端的運動時間是4.2s．

點評：本題是有往復的動力學問題，運用牛頓第二定律與運動學公式結合是解題的基本方法，加速度是關鍵量．