Question

如圖甲所示，放置在水平桌面上的兩條不計電阻的光滑導軌間的距離L=1m，質量m=3kg，長為1m，電阻為r的光滑導體棒放在導軌上，導軌左端與阻值R=3Ω的電阻相連，導軌所在位置有磁感應強度為B=2T的足夠大的勻強磁場，磁場的方向垂直導軌平面向下，現在給導體棒施加一個水平向右的拉力F，乙圖是導體棒運動的v-t圖象，其中OA、BC段是直線，AB段是曲線．假設在1s以后拉力的功率保持不變，3s后拉力F=10N，導體棒在運動過程中始終與導軌垂直，且接觸良好．g取10m/s²，設導軌足夠長，求：
（1）電阻r的大小．
（2）t=0.6s時，拉力F的大小．
（3）計算1s到3s的時間內電阻R上產生的熱量．

Answer 1

分析：（1）由圖象可知，3s后導體棒做勻速直線運動，處于平衡狀態，由圖象可以求出導體棒的速度，由E=BIL、歐姆定律、安培力公式可以求出導體棒受到的安培力，然后由平衡條件列方程求出電阻r的大小．
（2）由圖象可知，在0～1s時間內，導體棒做勻加速直線運動，由圖象求出導體棒的加速度，由速度公式求出t=0.6s時的速度，由安培力公式求導體棒受到的安培力，最后由牛頓第二定律求出此時的拉力．
（3）由P=Fv求出1～3s內拉力的功率，由能量守恒定律求出在此期間電阻R上產生的熱量．

解答：解：（1）由圖象可知，導體棒運動的速度達到10m/s時開始做勻速運動，
導體棒勻速運動的速度v=10m/s．
勻速運動后導體棒上的電動勢：E=BLv，
導體棒受的安培力：F₁=BIL=B

E

r+R

L=

B2L2v

r+R

，
導體棒做勻速直線運動，處于平衡狀態，
由平衡條件得：F=

B2L2v

r+R

，
電阻r=

B2L2 v

F

-R=

22×1×10

10

-3=1Ω；
（2）由圖象可知，在0～1s內，導體棒做勻速直線運動，
加速度a=

△v

△t

=

5

1

=5m/s²，
在時間t=0.6s時導體棒的速度v′=at=5×0.6=3m/s．
此時導體棒受到的安培力：F₂=BIL=

B2L2v′

r+R

=

22×1×3

1+3

=3N，
對導體棒，由牛頓定律得：F-F₂=ma，
拉力F=-F₂+ma=3+3×5=18N；
（3）在1s～3s的t=2s內，F的功率恒定P=Fv=10×10=100W，
由圖示可知，t₁=1s時，v₁=5m/s，t₂=3s時，v₂=10m/s，
由能量守恒定律得：Pt-Q=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²，代入數據解得：Q=87.5J，
R上產生的熱量Q_R=

QR

r+R

=

87.5×3

1+3

=65.625J；
答：（1）電阻r的大小為1Ω．（2）t=0.6s時，拉力F的大小為18N．（3）計算1s到3s的時間內電阻R上產生的熱量為65.625J．

點評：本題是一道力、電、磁綜合題，考查了求電阻、力、熱量等問題，分析清楚導體棒的運動過程、由圖象求出導體棒的時間對應的速度、根據圖象判斷出導體棒的運動性質、應用相關公式即可正確解題．