Question

如圖所示為建筑工地常用的一種“深穴打夯機”.工作時，電動機帶動兩個緊壓夯桿的滾輪勻速轉動將夯從深為h的坑中提上來，兩個滾輪彼此分開，夯桿被釋放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯實坑底. 然后，兩個滾輪再次壓緊夯桿，夯再次被提上來，如此周而復始. 已知兩個滾輪的半徑R=0.2m，轉動的角速度ω=204rad/s，每個滾輪對夯桿的正壓力F­N=2×104N，滾輪與夯桿間的動摩擦數μ=0.3，夯的總質量m=1×103kg，坑深h=6.4m. 假定在打夯的過程中每次坑的深度變化不大，且夯從底端升到坑口時，滾輪將夯桿釋放. 不計空氣阻力，取g=10m/s2.

求：（1）夯桿被滾輪壓緊加速上升至與滾輪速度相等時，此時夯的底端離坑底的高度h₁；

   （2）夯的運動周期T；

   （3）每個周期中，提升夯的過程中電動機所做的功W.

Answer 1

（1）設滾輪的邊緣轉動的線速度為v，則v=ωR=4m/s

     夯加速上升的加速度為a，由牛頓第二定律得

       當夯上升速度為v時，有

       代入數據解得

（2）設夯加速上升的時間為t₁，則

       設夯勻速上升的時間為t₂，則

       設夯從坑口上升到最高點的時間為t₃，則

       設夯從最高點下落到坑底的時間為t₄，夯上升的最大高度為h₂.

       則

      

       夯運動的周期T= t₁+ t₂+ t₃+ t₄=4.2s

（3）設夯加速上升過程滾輪轉動的距離為s，則s=vt₁=8m

       夯桿相對滾輪滑動的距離為△s，△s=s－h₁=4m，因相對滑動產生的熱

      

       夯獲得的動能

       夯上升的高度獲得的重力勢能

       則，電動機每個周期所做的功W=Q+E_K+E_P

    即