Question

如圖所示是建筑工地常用的一種“深穴打夯機(jī)”．工作時(shí)，電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)兩個(gè)緊壓夯桿的滾輪勻速運(yùn)轉(zhuǎn)將夯桿從深為h的坑中提上來(lái)，當(dāng)兩個(gè)滾輪彼此分開(kāi)時(shí)，夯桿被釋放，最后夯桿在自身的重力作用下，落回深坑夯實(shí)坑底．然后，兩個(gè)滾輪再次壓緊夯桿，夯桿再次被提上來(lái)，如此周而復(fù)始工作．已知兩個(gè)滾輪的半徑為R=40cm，角速度ω=10rad/s，每個(gè)滾輪對(duì)夯桿的正壓力F_N=2×10⁴ N，滾輪與夯桿的動(dòng)摩擦因數(shù)?=0.3，夯桿質(zhì)量m=1×10³ kg，坑深h=6.4m．假定在打夯的過(guò)程中坑的深度不變，且夯桿底端剛到坑口時(shí)，速度恰好為零．取g=10m/s²，

2

=1.4．求：
（1）夯桿上升過(guò)程中被滾輪釋放時(shí)的速度為多大；此時(shí)夯桿底端離坑底多高；
（2）每次打夯的周期為多少．

Answer 1

分析：（1）假設(shè)夯桿先加速上升，最后減速上升，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出勻加速直線運(yùn)動(dòng)的末速度，發(fā)現(xiàn)大于滾輪的線速度，夯桿上升過(guò)程中經(jīng)歷了勻加速直線運(yùn)動(dòng)，勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻減速直線運(yùn)動(dòng)．從而得知釋放時(shí)的速度等于滾輪的線速度，根據(jù)速度位移公式求出速度達(dá)到滾輪速度的位移．
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出勻加速加速、勻速和勻減速上升的時(shí)間，然后計(jì)算自由落體的時(shí)間，總時(shí)間即為打夯周期；

解答：解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得，2f-mg=ma
解得a=

2f-mg

m

=

2×0.3×2×104-1×104

1×103

m/s2=2m/s²．
設(shè)夯桿上升過(guò)程中被滾輪釋放時(shí)的速度為v，
根據(jù)h=

v2

2a

+

v2

2g

，解得v=

8 3

3

m/s．
因?yàn)闈L輪的線速度v=Rω=4m/s＜

8 3

3

m/s．
所以夯桿上升過(guò)程中經(jīng)歷了勻加速直線運(yùn)動(dòng)，勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻減速直線運(yùn)動(dòng)．夯桿上升過(guò)程中被滾輪釋放時(shí)的速度為4m/s．
此時(shí)夯桿底端離坑底的高度h1=

v2

2a

=

16

4

m=4m．
（2）夯桿上升過(guò)程中經(jīng)歷了勻加速直線運(yùn)動(dòng)，勻速直線運(yùn)動(dòng)和勻減速直線運(yùn)動(dòng)．
向上勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1=

v

a

=

4

2

s=2s，勻減速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t3=

v

g

=0.4s
勻減速直線運(yùn)動(dòng)的位移h3=

v2

2g

=

16

20

m=0.8m
則勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移h₂=h-h₁-h₃=6.4-4-0.8m=1.6m
則勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2=

h2

v

=

1.6

4

s=0.4s．
自由落體運(yùn)動(dòng)階段h=

1

2

gt42，解得t4=

2h g

=

12.8 10

s=0.8

2

s=1.12s
則打夯的周期為T=t₁+t₂+t₃+t₄=3.92s
答：（1）夯桿上升過(guò)程中被滾輪釋放時(shí)的速度為4m/s；此時(shí)夯桿底端離坑底4m．
（2）每次打夯的周期為3.92s．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是分析求出夯桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解．