Question

如圖所示，建筑工地常用的一種“深穴打夯機”工作時，電動機帶動兩個緊壓夯桿的滾輪勻速轉動將夯從深為h的坑中提到地面，兩個滾輪彼此分開，夯桿被釋放，最后夯在自身重力作用下，落回深坑，夯實坑底，然后，兩個滾輪再次壓緊夯桿，夯再次被提到地面，如此周而復始．已知兩個滾輪的半徑R=0.2m，轉動的角速度ω=20rad/s，每個滾輪對夯桿的正壓力FN=2×104N，滾輪與夯桿間的動摩擦因數μ=0.3，夯的總質量m=1×10³kg，坑深h=6.4m，假定在打夯的過程中每次坑的深度變化不大，當夯的底端升到坑口時，滾輪將夯桿釋放，不計空氣阻力，取g=10m/s²，求：
（1）夯桿被滾輪壓緊加速上升至與滾輪速度相等時，此時夯的底端離坑底的高度h₁；
（2）夯的運動周期T；
（3）每個周期中，提升夯的過程中電動機所做的功W．

Answer 1

分析：（1）由滾輪的半徑和轉動的角速度求出其線速度．夯桿被滾輪壓緊加速上升的過程中，滾輪的摩擦力和重力做功對夯做功，根據動能定理求解高度h₁；
（2）根據動量定理求出夯加速的時間．夯離開坑口后做豎直上拋運動，后減速上升后自由下落，采用分段法由運動學公式求解夯的運動周期．
（3）夯加速上升過程中，夯桿與滾輪摩擦產生的熱量等于滑動摩擦力與相對位移的乘積．先求出摩擦生熱，再由功能關系求解每個周期中，提升夯的過程中電動機所做的功W．

解答：解：（1）滾輪線速度v=ωR=4.0m/s…①
夯加速上升過程中，(2μFN-mg)h1=

1

2

mv2…②
得，h1=

mv2

2(2μFN-mg)

=4.0m…③
（2）設夯加速時間為t₁，則由動量定理得
   （2μF_N-mg）t₁=mv…④
得t1=

mv

2μFN-mg

=2.0s…⑤
夯勻速上升時間t2， t2=

h-h1

v

=0.6s…⑥
夯離開坑口上升到最大高度時間t3=

v

g

=0.4s…⑦
夯離開坑口上升的最大高度h2=

v2

2g

=0.8m…⑧
夯從最高點自由下落到坑底時間t4=

2(h+h2) g

=1.2s…⑨
夯的運動周期T=t₁+t₂+t₃+t₄=4.2s…⑩
（3）夯加速上升過程中，夯桿與滾輪摩擦產生的熱量Q=2μFN(v-

v

2

)t1=4.8×104J…（11）
夯從坑底提升到地面，夯的機械能增加量△E=

1

2

mv2+mgh=7.2×104J…（12）
每個周期中，提升夯的過程中電動機所做的功W=Q+△E=1.2×10⁵J…（13）
答：
（1）夯桿被滾輪壓緊加速上升至與滾輪速度相等時，此時夯的底端離坑底的高度h₁=4m．
（2）夯的運動周期T=4.2s；
（3）每個周期中，提升夯的過程中電動機所做的功W=1.2×10⁵J．

點評：本題是實際問題，文字較長，但物理情景清晰，要善于分析物理過程，把握解題規律．對于夯從坑口上升到最高點到落回坑底的過程是豎直上拋運動，也可以用整體法研究，列式如下：-h=vt₃′-

1

2

g

t

′2 3

，解得t3′=1.6s，T=t1+t2+t3′=4.2s