Question

如圖所示，兩足夠長的平行光滑的金屬導軌MN、PQ相距為d，導軌平面與水平面的夾角α=30°，導軌電阻不計，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面向上．長為d的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導軌上，且始終與導軌接觸良好，金屬棒的質量為m、電阻為R．兩金屬導軌的上端連接右側電路，燈泡的電阻R₁=3R，電阻箱電阻調到R′=6R，重力加速度為g．現閉合開關S，給金屬棒施加一個方向垂直于桿且平行于導軌平面向上的、大小為F=mg的恒力，使金屬棒由靜止開始運動．
（1）求金屬棒達到最大速度的一半時的加速度．
（2）若金屬棒上滑距離為L時速度恰達到最大，求金屬棒由靜止開始上滑4L的過程中，金屬棒上產生的電熱．
（3）若改變R′的阻值，當R′為何值時，在金屬棒達到最大速度后，R′消耗的功率最大？消耗的最大功率為多少？

Answer 1

分析：（1）金屬棒由靜止開始先加速度減小的加速運動后做勻速運動時，速度達到最大，根據平衡條件和E=BLv_m、I=

E

R+r

、F_安=BIL結合求出最大速度v_m．當金屬棒達到最大速度的一半時，先求出安培力，再由牛頓第二定律求出加速度a．
（2）由題，金屬棒達到最大速度時，根據能量守恒定律求出金屬棒上產生的電熱．
（3）運用P=I²R，結合電路的連接關系得到R′消耗的功率與R′的關系式，運用數學知識求解功率最大值及應滿足的條件．

解答：解：（1）金屬棒在圖所示各力作用下，先做加速度逐漸減小的加速運動，當加速度為零時，金屬棒達到最大速度，此后開始做勻速直線運動．設最大速度為v_m，金屬棒達到最大速度的一半時的加速度為a，則速度達到最大時有
  F=IdB+mgsinα            
根據閉合電路歐姆定律得：I=

Bdvm

R總

                                   
整個電路的總電阻為 R_總=R+

R′RL

R′+RL

=3R                    
由以上各式解得：v_m=

3mgR

2B2d2

                      
金屬棒達到最大速度的一半時，由牛頓第二定律有
  F-I_串dB-mgsinα=ma                       
又 I_串=

Bdvm

2R總

=

I

2

解得：a=

g

4

                                
（2）設整個電路放出的電熱為Q，由能量守恒定律有：
  F?4L=Q+mgsinθ?L+

1

2

m

v

2 m

代入上面的v_m值，可得：Q=2mgL-

9m3g2R2

8B4d4

              
因

R

R總

=

1

3

故金屬棒放出的電熱Q_棒=

1

3

Q=

2

3

mgL-

3m3g2R2

8B4d4

         
（3）R′上消耗的功率P′=I′²R′
并聯部分的電阻為 R_并=

R′RL

R′+RL

=

3RR′

R′+3R

又 I′R′=IR_并
I′=

3R

3R+R′

I=

3Rmg

2(3R+R′)Bd

                      
則得：P′=

m2g2

4B2d2

?

9R2R′

(3R+R′)2

=

m2g2

4B2d2

?

9R2

9R2 R′ +6R+R′

                         
根據數學知識得知，當

9R2

R′

=R′即R′=3R時，上式分母最小，R′消耗的功率最大，為  P′_m=

3m2g2R

16B2d2

．
答：（1）金屬棒達到最大速度的一半時的加速度為

g

4

．
（2）金屬棒由靜止開始上滑4L的過程中，金屬棒上產生的電熱為

2

3

mgL-

3m3g2R2

8B4d4

．
（3）若改變R′的阻值，當R′=3R時，在金屬棒達到最大速度后，R′消耗的功率最大，消耗的最大功率為

3m2g2R

16B2d2

．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合，其橋梁是安培力，要學會推導安培力的表達式，分析棒的運動情況，根據牛頓第二定律和能量守恒處理這類問題．關鍵要會運用數學上函數法求功率的最大值．