Question

如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上，有一長為l的細線，細線的一端固定在O點，另一端拴一質量為m的小球，現使小球恰好能在斜面上做完整的圓周運動，已知O點到斜面底邊的距離S_oc=L，
求：（1）小球通過最低點B時，細線對小球拉力為多少？
（2）若小球運動到A點或B點時剪斷細線，小球滑落到斜面底邊時到C點的距離相等，則l和L應滿足的什么關系？

Answer 1

分析：（1）小球恰好能在斜面上做完整的圓周運動，小球在最高點時細線的拉力為零，由重力沿斜面向下的分力提供向心力，根據牛頓第二定律求出小球通過最高點時的速度，由機械能守恒定律求出小球通過最低點B時的速度，根據牛頓第二定律求解細線對小球拉力．
（2）若小球運動到A點或B點時剪斷細線，小球做類平拋運動，沿斜面向下做加速度為gsinθ的勻加速直線運動，根據位移公式求解l和L應滿足的關系．

解答：解：（1）在A點：根據牛頓第二定律得
    mgsinθ=m

v 2 A

l

得：vA=

glsinθ

小球從最高點到最低點的過程中，機械能守恒，則有：
  mgsinθ2l=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

解得，vB=

5glsinθ

在最低點：FT-mgsinθ=m

v 2 B

l

聯立三式得F_T=6mgsinθ
（2）小球運動到A點或B點時剪斷細線，小球做類平拋運動，沿斜面向下做加速度為gsinθ的勻加速直線運動，
   則有  L+l=

1

2

(gsinθ)

t

2 A

         L-l=

1

2

(gsinθ)

t

2 B

據題意得：在平行于斜面底端方向，小球做勻速直線運動，則有
   v_At_A=v_Bt_B
解得：L=1.5l
答：
（1）小球通過最低點B時，細線對小球拉力為6mgsinθ．
（2）l和L應滿足的關系是L=1.5l．

點評：本題小球在斜面平面內圓周運動與在豎直平面內圓周運動相似，小球經過恰好最高點時細線的拉力為零．